Beweis mit Schubfachprinzip?

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13.05.2014, 17:52	Anna1212	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Schubfachprinzip? Meine Frage: Hallo ihr Lieben ich grüble über folgende Aufgabe Sei ak eine Folge von reellen Zahlen aus dem Intervall [0,1) mit n ? N, beweise es gibt ganze Zahlen i,j mit 0<i<j<n und \|ai-aj\|<1/n Meine Ideen: Inwiefern kann ich hier das Schubfachprinzip nutzen?
13.05.2014, 18:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schlampig aufgeschrieben? Ist da wirklich jedes < in deinem Beitrag auch wirklich ein < , oder muss da nicht an einigen Stellen ein < stehen? So wie du es geschrieben hast, kann man nämlich das Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} a_i = \frac{2i-1}{2n-1} \end{eqnarray}$ anführen, d.h. die Aussage ist FALSCH.
13.05.2014, 18:22	Anna1212	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schlampig aufgeschrieben? Oh ja du hast vollkommen Recht an der Stelle heisst es wie folgt: 0 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ i < j $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ n
13.05.2014, 18:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was die Situation völlig verändert. Sei $\begin{eqnarray} a:=\max\{a_0,\ldots,a_n\} \end{eqnarray}$ , d.h. es ist dann $\begin{eqnarray} a<1 \end{eqnarray}$ . Jetzt teile das Intervall $\begin{eqnarray} [0,a] \end{eqnarray}$ in genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Teilintervalle der Länge $\begin{eqnarray} \frac{a}{n} \end{eqnarray}$ . Und jetzt packe die $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ Zahlen $\begin{eqnarray} a_0,a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray}$ in das Intervall $\begin{eqnarray} [0,a] \end{eqnarray}$ . EDIT: Ach nein, machen wir es einfacher - wir unterteilen $\begin{eqnarray} [0,1) \end{eqnarray}$ in genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ halboffene Intervalle $\begin{eqnarray} \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=1,\ldots,n \end{eqnarray}$ , das reicht auch.
14.05.2014, 17:06	Anna1212	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank schonmal, aber könntest du mir trotzdem noch sagen wie ich weiter vorgehen muss? Du hast jetzt das Prinzip auf das Intervall angewandt, richtig?
14.05.2014, 17:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast $\begin{eqnarray} (n+1) \end{eqnarray}$ Zahlen $\begin{eqnarray} a_0,a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray}$ , die irgendwo in den genannten $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Intervallen liegen - na da muss es doch jetzt mal dämmern.
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14.05.2014, 21:02	Anna1212	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich jetzt folgendes sagen: I:={k-1/n, k/n) ={epsilon € R \| k-1/n<epsilon<k/n}
14.05.2014, 21:11	Anna1212	Auf diesen Beitrag antworten »
bzw ehr so k={1...n} sei uk := ai-aj Dann gilt 0 <= \|uk\| <= 1. Bei t+1 Zahlen uk und t Teilintervallen I_k müssen nach Schubfachprinzip mindestens zwei verschiedene Zahlen i,j € {0, ..., t} zu einer Zahl h € {1, ..., t} existieren mit ui, uj € In
14.05.2014, 22:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ? Es sind $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Intervalle. Du kannst nicht willkürlich zu nicht eingeführten Werten $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ greifen. Davon abgesehen enthält der Satz richtige Gedanken, aber dann brichst du völlig unverständlich einfach ab. Die $\begin{eqnarray} (n+1) \end{eqnarray}$ Zahlen $\begin{eqnarray} a_0,a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray}$ liegen alle in den $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ genannten Intervallen. Demnach gibt es nach Schubfachprinzip mindestens ein Intervall, in dem mindestens zwei der Zahlen liegen, das seien $\begin{eqnarray} a_i,a_j \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq i < j \leq n \end{eqnarray}$ . Da die Intervallänge gleich $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ist, ist der Abstand $\begin{eqnarray} \|a_i-a_j\|<\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ (Gleichheit ist ausgeschlossen, da das rechte Intervallende nicht zum Intervall gehört).
14.05.2014, 22:42	Anna1212	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh klar, du hast vollkommen recht vielen Dank

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