Lebensdauer von Glühbirnen

13.05.2014, 18:13

bdcity

Lebensdauer von Glühbirnen

Meine Frage:
Hallo!
Wir hatten heute sie Exponentialverteilung und ich hab mal wieder direkt nichts verstanden.
Es geht um die folgende Aufgabe:

"Die Lebensdauer von Glühbirnen
Nach Angaben des Herstellers beträgt die mittlere Lebensdauer seiner 100-Watt-Glühbirnen 5000 Stunden. Die Lebensdauer X einer Glühbirne sei hierbei exponentialverteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne
a) eine Leuchtdauer von 300h erreicht?
b) mehr als doppelt so lange brennt?
c) in der ersten Woche ausfällt, wenn das Licht jeweils 4h/Tag eingeschaltet wird?
d) die bereits eine Leuchtdauer von 750h erreicht hat, eine Leuchtdauer von 2800h erreicht?"

Meine Ideen:
Ich habe erst einmal die Verteilungs- und Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \lambda = 1/5000 = 0,0002 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = \lambda e^{-\lambda x} = 0,0002e^{-0,0002x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x) = 1 - e^{-\lambda x} = 1 - e^{-0,0002x} \end{eqnarray*}$

zu a)
$\begin{eqnarray*} P(X=300) = f(300) = 0,000188 = 0,0189% \end{eqnarray*}$
zu b)
$\begin{eqnarray*} P(X>10000) = 1 - P(X<=10000) = 1 - F(10000) = 0,1353 = 13,53% \end{eqnarray*}$

bei c und d weiß ich noch nicht mal welche Funktion ich anwenden soll...

13.05.2014, 18:38

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} P(X=300) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer der Glühbirne genau 300h beträgt. Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich Null, aber diese Wahrscheinlichkeit ist bei a) gar nicht gefragt.

"300 h erreicht" heißt, dass die Lebensdauer mindestens 300h beträgt! Und dementsprechend ist auch zu rechnen.

P.S.: Dieses $\begin{eqnarray*} P(X=k) = f(k) \end{eqnarray*}$ vergiss mal ganz schnell - das ist bei stetigen Verteilungen völlig falsch. unglücklich

Bei c) wirst du doch wohl hinkriegen, wieviel Stunden die Birne in einer Woche leuchten muss, bei dem angegebenen Nutzungsprofil!

Und in d) ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit gefragt, und zwar $\begin{eqnarray*} P(X\geq 2800 \mid X\geq 750) \end{eqnarray*}$ .

13.05.2014, 19:17

bdcity

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a)
$\begin{eqnarray*} P(X>=300) = 1 - P(X<=300) = 1 - F(300) = 0,0582 \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} P(X>=2800)/P(X>=750) = 0,6636 \end{eqnarray*}$

d)
$\begin{eqnarray*} P(X<=28) = 0,0056 \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

13.05.2014, 19:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von bdcity
a)
$\begin{eqnarray*} P(X>=300) = 1 - P(X<=300) = 1 - F(300)~ {\color{red}= 0,0582} \end{eqnarray*}$

P.S.: Man sollte Ergebnisse auch ein wenig auf Plausibilität überprüfen: Eine Glühbirne mit einer mittleren Lebensdauer von 5000h soll nur mit Wahrscheinlichkeit 0,0582 die 300h erreichen? Kommt dir das nicht schon beim Betrachten seltsam vor? Mir schon.

13.05.2014, 19:23

bdcity

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ups, ja ich hatte vergessen 1-0.0582 zu rechnen, also 0.9418
richtig?

13.05.2014, 19:24

HAL 9000

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Richtig.