Bereichsintegral, Grenzen

13.05.2014, 20:37	Gelo2802	Auf diesen Beitrag antworten »
Bereichsintegral, Grenzen Meine Frage: Ich habe nach wie vor Probleme die richtigen Grenzen zu wählen und bin mir ziemlich unsicher. Die Aufgabe: Es soll das Bereichsintegral $\begin{eqnarray} \int_K \! x\sqrt{xy} \, dxdy \end{eqnarray}$ bestimmt werden. K ist die Fläche die zwischen den Funktionen y=x und y=x^2 im ersten Quadranten eingeschlossen wird. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \int_{y=x}^{y=x^2} \int_{x=\sqrt{y} }^{x=y} f(x,y) dy \, dy \end{eqnarray}$ Ist das der richtige Ansatz? Im Voraus vielen Dank
14.05.2014, 08:49	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bereichsintegral, Grenzen Also so geht es nicht. Bei dir läuft jetzt y in einem Bereich, der von x abhängt, und x in einem Bereich, der von y abhängt. Da beißt sich ja die Katze in den Schwanz.
14.05.2014, 11:00	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mache eine Skizze und schneide das Gebiet in Gedanken in senkrechte Streifen, welche parallel zur y-Achse liegen. Jeder einzelne Streifen hat die differenzielle Breite dx. Im 1.Schritt integriert man nur entlang eines Streifens (also eindimensional). Ein einzelner senkrechter Streifen ist unten bzw. oben begrenzt durch $\begin{eqnarray} y_1=x^2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} y_2=x \end{eqnarray}$ . Also lautet das Integral entlang eines senkrechten Streifens, der sich an der Stelle x befindet $\begin{eqnarray} \underbrace{\int_{y_1=x^2}^{y_2=x} f(x,y) dy}_{\text{Integration über 1 senkrechten Streifen}} \end{eqnarray}$ Im 2.Schritt werden alle diese Streifen-Integrale summiert. Die am weitesten links bzw. rechts liegenden Streifen befinden sich bei $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_2=1 \end{eqnarray}$ . Das sind gerade die Schnittstellen der Funktionen y=x² und y=x und folglich die Integrationsgrenzen. Die Integration über alle Streifen liefert also $\begin{eqnarray} \overbrace{\int_{x_1=0}^{x_2=1}\underbrace{\left ( \int_{y_1=x^2}^{y_2=x} f(x,y) dy \right )}_{\text{Integral über 1 senkrechten Streifen}}\,\,dx}^{\text{Summe über alle Streifen}} \end{eqnarray}$
14.05.2014, 18:17	Gelo2802	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!!! Das hat mir um einiges weiter geholfen. Als Ergebnis bekomme ich 1/22 heraus. Ist das realistisch, ist die Fläche tatsächlich so klein? Wenn ich zuerst in X und dann in Y - Richtung integriere, bleiben dann die Grenzen gleich?
15.05.2014, 09:07	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ergebnis 1/22 ist richtig. Diese Zahl darf man aber nicht als Fläche interpretieren. Die richtige Interpretation ist folgende: Das Integrationsgebiet ist diejenige kleine Fläche innerhalb der xy-Ebene, welche zwischen den Funktionen y=x und y=x² "eingklemmt" ist. Mit Schulmathematik kann man leicht berechnen, dass deren Flächeninhalt A=1/6 beträgt. Die Funktion f(x,y) kann man kann man als gekrümmte Fläche über der xy-Ebene interpretieren ("Gebirge"), wobei die Zahl f die lokale Höhe über dem Punkt (x;y) angibt. Das Ergebnis 1/22 ist das Volumen, welches zwischen der Fläche A=1/6 in der xy-Ebene und der gekrümmten Fläche "eingeklemmt" ist. Die Funktion z(x,y) ist also eine natürliche Verallgemeinerung der Funktion y(x). Letztere ist ein eindimensionales "Gebirge" über der x-Achse:
16.05.2014, 14:45	Gelo2802	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank für die super Erklärungen! Endlich macht alles ein Sinn!
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