Extrema

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Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema
Guten Abend.



Berechne die relativen Extrempunkte.

Was bedeutet das, dass die Funktion von zwei Variablen abhängig ist ? Heißt das, dass man für x und y Werte einsetzen muss und ist das auch wirklich eine Funktion.

Früher hatte ich immer:

Ich weiß auch nicht, wie ich da vorgehen soll, um die Extrema zu berechnen.

Vielen Dank
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die partiellen Ableitungen sind Null zu setzen ...

mY+
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »











so hier ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bonheur




so hier ?

Erstmal ok, diese Gleichungen sind nun zu lösen.

Man kann sich dem Thema aber auch anders nähern: da die Wurzelfunktion monoton steigt, hat sie dort ein Minimum, wo auch der Radikand ein Minimum hat. Offensichtlich ist x² + y² immer größer-gleich Null, wobei die Null nur in einem einzigen Fall erreicht wird.

Insgesamt scheint mir das Thema aber eher in den Hochschulbereich zu gehören.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So, nach dem Lösen dieser Gleichungen Erhalten wir einen möglichen Extrempunkt.
Ob es nun ein Extrempunkt (Maximum oder Minimum) oder ein Sattelpunkt ist, ist mittels der Hesse-Matrix (Definitheit) zu untersuchen.
Oder man geht den Weg, den klarsoweit bereits vorgeschlagen hat.

Thema ***verschoben***

mY+
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wusste gar nicht, dass es wirklich so kompliziert ist.
Mich hat es bloß interessiert, weil die Funktion von zwei Variablen abhängig ist und dass war mir neu und deshalb wollte ich sehen, was dahinter steckt.








Die Null wird bei null erreicht.

Muss ich jetzt wieder partiell ableiten ?

Ich kann nachvollziehen, dass x^2+y^2 monoton steigt, aber leider den zweiten Teil nicht, mit dem Minimum.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
...
Offensichtlich ist x² + y² immer größer-gleich Null, wobei die Null nur in einem einzigen Fall erreicht wird.
...

Was wäre dazu noch zu erklären?
__________

Natürlich kannst du auch die Hesse-Matrix aufstellen; dazu braucht es weitere (partielle) Ableitungen, die Matrix ist recht einfach, sobald darin x=0 und y=0 eingesetzt worden ist.
Z.B. mittels des Hauptminorenkriteriums kannst du sofort zeigen, dass die Matrix positiv definit ist, .. (was bedeutet dies?)

mY+
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich verstanden. smile

Ich meine bloß, warum hat man ein Minimum, wenn der Radikand monoton steigt. smile


Ich würde sagen, wenn die Matrix positiv definit ist, müssen alle Eigenwerte größer null sein.







Stimmt es bis hierher ?
Brotzeit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bonheur
Stimmt es bis hierher ?


Ne, leider nicht, schau mal genau auf das x
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss nicht, was und wie Brotzeit gerechnet hat, aber die partiellen Ableitungen stimmen.
____________

Zitat:
Original von Bonheur
...
Ich meine bloß, warum hat man ein Minimum, wenn der Radikand monoton steigt. smile
...

Wenn rundherum um den Punkt (0;0;1) die Funktion durchwegs monoton steigend ist (weil die Wurzel für x, y ungleich Null größer als 1 ist), was bleibt denn dann für das Extremum übrig?

Ja, die Eigenwerte der Matrix sind positiv (1, 1 in der Hauptdiagonalen, die anderen Elemente sind 0), also ist die Matrix positiv definit ..
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Super. smile

Alles klar.

Ich habe alles verstanden. Vielen Dank. smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Schön. smile
Übrigens, so sieht's aus:

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