Richtungsableitung - Allgemeines Verständnis

14.05.2014, 13:05

Narrator

Richtungsableitung - Allgemeines Verständnis

Guten Tag,
ich sitze nun schon seit geraumner Zeit über der Definition der Richtungsableitung, kann mir bisher aber nichts allzu genaues darunter vorstellen.
Wir haben die Richtungsableitung folgendermaßen definiert:
Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \subset \mathbb R^n offen, f:\Omega \rightarrow \mathbb R^m, x\in \Omega. \end{eqnarray*}$ Falls fuer ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} f(x+tv) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ existiert, dann heißt diese Ableitung Richtungsableitung von f an x in Richtung v.

Was ist hier z.B. meine Menge V? Müsste es nicht v in IR^n sein?
Bei dem aktuellen Übungszettel geht es darum die Existenz einer Richtungsableitung aus dem IR^2 an jedem Punkt zu zeigen, aber im Moment wäre es bereits sehr nützlich ein allgemeines Verständnis für die Richtungsableitung zu bekommen. Kennt jemand gute Quellen, die das Thema ausführlicher behandeln

Die Aufgabe, die ich schlussendlich lösen möchte, sieht übrigens folgendermaßen aus:
Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) := \frac{xy²}{x²+y^4} fuer (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f(x,y) := 0, fuer (x,y) = (0,0) \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen von jedem Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ existieren, und dass f im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist.

Im Internet habe ich bereits gelesen, dass der Gradient hilfreich ist, um die Richtungsableitung zu bestimmen, doch diesen haben wir erst nach der Richtungsableitung eingeführt. Die Einführung der Richtungsableitung erfolgte bei uns unmittlebar nach der Definition von partieller Differenzierbarkeit.

14.05.2014, 13:08

bijektion

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Zitat:

Was ist hier z.B. meine Menge V? Müsste es nicht v in IR^n sein?

Ich vermute damit ist einfach eine Menge von Richtungen gemeint.

Ist dir bewusst, dass partielle Ableitungen nur Richtungsableitungen in spezielle Richtungen sind?

14.05.2014, 13:22

Narrator

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Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, können die partiellen Ableitungen jeweils als Richtungsableitungen in Richtung genau einer Koordinate angesehen werden. Also wenn $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ den Vektor (x1,x2,...,xn) auf die reellen Zahlen abbildet, wären partielle Ableitungen die Richtungsableitungen nach den xi's aus (x1,x2,...,xn).
Stimmt das so ungefähr?

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