Gleichung mit Wurzel umformen

14.05.2014, 14:41

Eiswette

Gleichung mit Wurzel umformen

Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem: Ich weiss, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{50+10\sqrt{5}}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}=2\sqrt{10-2\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ gilt

Im Prinzip möchte ich herausfinden, wie ich durch umformen von links nach rechts kommen kann. Wenn ich das versuche, komme ich aber leider zum falschen Ergebnis...
$\begin{eqnarray*} \sqrt{50+10\sqrt{5}}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ={50+10\sqrt{5}}-({10+2\sqrt{5}})=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =40+8\sqrt{5}=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =4*10+4*2\sqrt{5}=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =4*(10+2\sqrt{5})=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sqrt{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\pm 2\sqrt{10+2\sqrt{5}}=x \end{eqnarray*}$

Ich bin für jede Hilfe dankbar

14.05.2014, 14:55

Steffen Bühler

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RE: Gleichung mit Wurzel umformen
Herzlich willkommen im Matheboard!

Zitat:

Original von Eiswette
$\begin{eqnarray*} \sqrt{50+10\sqrt{5}}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ={50+10\sqrt{5}}-({10+2\sqrt{5}})=x^2 \end{eqnarray*}$

Hier solltest Du die zweite binomische Formel beachten.

Viele Grüße
Steffen

14.05.2014, 15:18

Eiswette

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vielen Dank

14.05.2014, 15:30

HAL 9000

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Alternativ kannst du auch erstmal behutsam ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{50+10\sqrt{5}}-\sqrt{10+2\sqrt{5}} = \sqrt{5(10+2\sqrt{5})}-\sqrt{10+2\sqrt{5}} = (\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ .

Dann kann man sich sogar das anschließende Quadrieren (was immer etwa heikel ist, sofern man nicht die Vorzeichen genau im Griff hat) sparen.

14.05.2014, 15:42

adiutor62

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@HAL:
Superidee mit dem Ausklammern. Gott

Aber Otto-Normal-Schüler kommt da wohl kaum drauf. Ich hätte auch gleich munter drauf losquadriert. smile

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Gleichung mit Wurzel umformen

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