Stochastik- Verteilung von Briefen auf Tage

14.05.2014, 15:24	Merlin80	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastik- Verteilung von Briefen auf Tage Meine Frage: Hallo, hier ist die Aufgabenstellung: Seit Jahren erhält eine alte Dame von jeder ihrer sechs Freundinnen genau einen Brief in der Woche. Dabei scheint die Post den Zustellungstag eines jeden Briefes zufällig uber die Woche (Mo?Sa) zu verteilen. Die alte Dame stellt zu ihrem Leidwesen fest, dass es in fast jeder Woche einen Wochentag (Mo?Sa) gibt, an dem zwei oder mehr Briefe ankommen. Dabei wäre es ihr lieber, jeden Tag einen Brief zu erhalten, doch das kommt leider nur selten vor. Klären Sie die alte Dame uber die Hintergründe ihrer Beobachtung auf, und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des von ihr erhofften Ereignisses. Erklären Sie hierzu insbesondere einen geeigneten diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie am Dienstag k Briefe, k ? {1, . . . , 6}? Meine Ideen: Mein Lösungansatz ist folgender: Ich habe das Problem interpretiert im Sinne des Urnenmodells 6 ununterscheidbare Briefe mit Mehrfachbelegung auf 6 Tage zu verteilen. Es scheint ja egal zu sein, von wem der Brief ist, der an einem Tag ankommt. Die Reihenfolge der Briefe interessiert die Dame nicht. Ich komme dann auf den Ereignisraum: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 6 \end{pmatrix} = 462 \end{eqnarray}$ Es gibt also 462 mögliche Verteilungen. Das Ereignis, dass an jedem Tag exakt nur ein Brief kommt, gibt es nur einmal. Also ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 1/462, was ungefähr 0,2 % wäre. Soweit hoffe ich, dass es richtig ist. Mir fehlt noch der Ansatz, wie ich rausfinde, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Dame am Dienstag k Briefe erhält. Wer weiß Rat? Gruß Merlin80
14.05.2014, 15:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeden Wochentag kann man mit einer Würfelaugenzahl 1..6 identifizieren, und die 6 Briefe entsprechen 6-mal würfeln. Und in dem Sinne begehst du mit "ununterscheidbaren Briefen" den geradezu klassischen Fehler der falschen Modellwahl. Mach die Briefe unterscheidbar und "alles wird gut".
14.05.2014, 16:27	Merlin80	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den schnellen Tipp! Die Analogie zum Würfelspiel leuchtet mir ein. Demnach ist es also doch unterscheidbar! Ich war mir bei meinem Ansatz ohnehin nicht ganz sicher... Dann wäre der Ereignisraum also gegeben durch $\begin{eqnarray} n^{k}=6^{6}=46656 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 1 Brief pro Tag wäre dann 6! / 46656, ca. 1,5 %. Die Briefe sind jetzt also doch unterscheidbar und es gibt 6! verschiedene Möglichkeiten der Verteilung der Briefe.
14.05.2014, 16:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt.
14.05.2014, 17:14	Merlin80	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist noch die andere Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält die Dame am Dienstag k Briefe, k Element von {1, . . . , 6}? Ich bin da auf diese Formel gekommen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6 \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{1}{6}^{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{5}{6}^{6-k}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit k ist eben die Anzahl Briefe gemeint, die an einem bestimmten Tag (=Augenzahl) ankommen. Für mich klingt die Formel plausibel
14.05.2014, 17:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Misslungen ist nur die Position der Klammersetzung, aber vermutlich meinst du das richtige $\begin{eqnarray} \binom{6}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^{k} \left(\frac{5}{6}\right)^{6-k} \end{eqnarray}$ .
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14.05.2014, 17:43	Merlin80	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das meinte ich

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