Differentialgleichung

14.05.2014, 18:13

Nici 5

Differentialgleichung

Meine Frage:
Gegeben sei die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} x'=f(t,x)=x+2*t*x^3 <br /> x(0)=1 \end{eqnarray*}$

Lösen Sie die Anfangswertaufgabe exakt durch Verwendung der Substitution $\begin{eqnarray*} x(t)=y(t)*e^t \end{eqnarray*}$ und Trennung der Veränderlichen.

Ist mein Ansatz richtig?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} x'(t)=y'(t)*e^t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \equiv \frac{x'(t)}{e^t}=y'(t)\equiv \frac{x'(t)}{e^t}=\frac{dy}{dx}\equiv \frac{x+2*t*x^3}{e^t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! x+2*t*x^3 \, dx =e^t\int \! 1 \, dy \end{eqnarray*}$

14.05.2014, 18:20

HAL 9000

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Die Produktregel der Differentiation ist dir aber schon bekannt? Die ist auch beim Differenzieren von $\begin{eqnarray*} y(t)\cdot e^t \end{eqnarray*}$ zu beachten.

14.05.2014, 18:30

Nici 5

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so?

$\begin{eqnarray*} x'(t)=y'(t)*e^t+y(t)*e^t<br /> x+2*t*x^3=e^t*(y'(t)+y(t)) \end{eqnarray*}$

wie mach ich dann weiter...weiß leider gar nicht weiter unglücklich

Wie kann ich denn Trennung der Veränderlichen anwenden

14.05.2014, 18:32

HAL 9000

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Na links solltest du die Substitution auch "durchziehen" - das x hat da nix mehr verloren! Forum Kloppe

14.05.2014, 18:52

Nici 5

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oja...

ok hab für x jetzt die substitution eingesetzt und dann umgeformt, so dass ich auf
$\begin{eqnarray*} 2*t*e^{3*t}*y(t)^3=y'(x)=\frac{dy}{dt} <br /> \int \! 2*t*e^{3*t} \, dt =\int \! 1/(y(t)^3 )\, dx \end{eqnarray*}$ komme.
Stimmt die Stammfunktion der rechten Seite $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y(t)2}+c \end{eqnarray*}$ oder habe ich wieder vergessen die innere Funktion zu integrieren?

14.05.2014, 18:59

HAL 9000

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Erstmal steht rechts nicht $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \dd y \end{eqnarray*}$ . Und differenziere mal zur Probe

$\begin{eqnarray*} \left[ \frac{1}{y^2} \right]' = \ldots \end{eqnarray*}$

dann solltest du sehen, dass noch ein Faktor fehlt.

14.05.2014, 19:13

Nici 5

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ok, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y(t)^3} \end{eqnarray*}$ abgeleitet wäre $\begin{eqnarray*} \frac{-2*y'(t)}{y(t)} \end{eqnarray*}$ Also muss die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y^3} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{-2*y' *y^2} \end{eqnarray*}$ sein...obwohl ich mir da gerade auch nicht sicher bin

14.05.2014, 19:17

HAL 9000

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Herrje... ich rede von der Ableitung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ - denn es geht ja rechts auch um das Integral $\begin{eqnarray*} \ldots \dd y \end{eqnarray*}$ . Da ich hier nicht seitenweise mit Grundintegralen verschwenden will:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{y^3} ~ \dd y = -\frac{1}{2y^2} + c \end{eqnarray*}$

14.05.2014, 19:45

HIMYM

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Sitze gerade zufällig auch an der Aufgabe... habe die Integrale berechnet und komme auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*y^2} =\frac{2}{3} *e^{3t} -\frac{2t}{3} *e^{3t} \end{eqnarray*}$ . Um an die Lösung der Differentialgleichung zu kommen muss ich jetzt nach y auf lösen...aber wie bekomme ich den hin,dass auf der linken Seite y=...steht.... Forum Kloppe

ich komm nicht drauf

14.05.2014, 20:16

HAL 9000

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Offenbar muss man hier alles nachrechnen, furchtbar: $\begin{eqnarray*} x=ye^t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x'=(y'+y)e^t \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} x'=x+2tx^3 \end{eqnarray*}$

einsetzen ergibt

$\begin{eqnarray*} (y'+y)e^t = ye^t + 2ty^3e^{3t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y^3} = 2te^{2t} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} e^{2t} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} e^{3t} \end{eqnarray*}$ rechts...

16.05.2014, 13:05

HIMYM

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Zitat:

Original von HAL 9000
Offenbar muss man hier alles nachrechnen, furchtbar

Geht dir das auf den Sack?

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