Oberflächenintegral über Flächenstück

15.05.2014, 09:10

fnsr21

RE: Oberflächenintegral über Flächenstück

Hallo!

Ich habe eine (in "Ingenieursprech" mathematisch) gestellte Aufgabe: Gesucht ist der Oberflächeninhalt des Flächenstücks, dessen Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ den Relationen genügen:

$\begin{eqnarray*} \mathcal B : x^2+y^2 = 4, \quad 0 \leqslant z \leqslant x^2 \, \vert y \vert \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Für die restlichen Teilaufgaben ist korrekterweise ein Flächenstück explizit über $\begin{eqnarray*} z(x,y)=\dots \end{eqnarray*}$ und Einschränkungen à la $\begin{eqnarray*} a_1 \leqslant x \leqslant b_1, \quad a_2 \leqslant y \leqslant b_2 \end{eqnarray*}$ gegeben. Idee der Aufgabe ist also die explizite Darstellung zu nutzen mit der Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dem zugehörigen Flächenelement $\begin{eqnarray*} \mathrm dO = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, \mathrm dx \, \mathrm dy. \end{eqnarray*}$

Für obige Aufgabe $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ haben wir also einen Zylindermantel mit Grundfläche $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ beliebig. Unter dem anderen Flächenstück kann ich mir wenig vorstellen, nur: wir sind auf $\begin{eqnarray*} -x^2 \leqslant \frac zy \leqslant x^2 \end{eqnarray*}$ . So angegeben ist das für mich aber eher ein Körper.

Ich hatte ich nun die Idee Zylinderkoordinaten zu nutzen. Da der Radius fest ist also $\begin{eqnarray*} 0 \leqslant z \leqslant 2^3 \cos^2 \varphi \vert \sin \varphi \vert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_B \mathrm dO = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{8 \cos^2\varphi \vert \sin \varphi \vert} \, \mathrm dz \, \mathrm d\varphi &=& \int\limits_0^{2\pi} 8 \cos^2\varphi \vert \sin \varphi \vert \, \mathrm d\varphi\\<br /> &=& 8 \cdot 2\int\limits_0^{\pi} \cos^2\varphi \, \sin \varphi \, \mathrm d\varphi\\<br /> &=& 16\left[ -\frac 13 \cos^3\varphi \right]_0^{\pi}\\<br /> &=& \frac{32}3\\<br /> \end{eqnarray*}$

Die Lösung (die leider nur das Ergebnis gibt) sagt nun aber $\begin{eqnarray*} \frac{64}3 \end{eqnarray*}$ . Ist der Ansatz falsch oder handelt es sich vielleicht um einen Druckfehler?

Gibt es vlt auch eine Möglichkeit die Fläche "abzuwickeln" und den Inhalt zu berechnen?

Grüße

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit Anwortzähler wieder auf Null steht. Steffen

Schusselfehler gefunden. Das Flächenelement vergessen. Mit

$\begin{eqnarray*} \mathrm dO = r \, \mathrm dz \mathrm d \varphi = 2 \, \mathrm dz \mathrm d \varphi \end{eqnarray*}$

bekommt man natürlich als Integranden

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_B \mathrm dO = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{8 \cos^2\varphi \vert \sin \varphi \vert} 2 \, \mathrm dz \, \mathrm d\varphi \end{eqnarray*}$

und damit das gewünschte Ergebnis.

Hat jemand vielleicht noch eine Anregung für mich, wie man das ganze über "Abwickeln" der Fläche bestimmen könnte?

Vielen Dank im Voraus.

15.05.2014, 16:33

aakka

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RE: Oberflächenintegral über Flächenstück

Zitat:

Original von fnsr21
Hat jemand vielleicht noch eine Anregung für mich, wie man das ganze über "Abwickeln" der Fläche bestimmen könnte?

Also wenn du mit Abwickeln meinst was auf de.wikipedia.org/wiki/Abwicklung_(Darstellende_Geometrie) beschrieben ist und es mit etwas zylinderartigem zu tun hast, dann würde ich sagen, dass man es in dem Fall über ein Kurvenintegral erster Art löst, also dem Rand der Grundfläche "entlang läuft" und die Höhe "aufsummiert" (integriert).

28.05.2014, 12:37

fnsr21

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Hat bestens geklappt. Vielen Dank.

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Oberflächenintegral über Flächenstück

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