Gruppe und Untergruppen Anhand von Erzeugendensystem ermitteln

14.05.2014, 21:38	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe und Untergruppen Anhand von Erzeugendensystem ermitteln Moin, ich bin mir nicht sicher, ob ich hier in die richtige Richtung arbeite und würde mich deshalb gern absichern. Gegeben ist folgendes: Sei $\begin{eqnarray} G := <z,x> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z:= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x:= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimme $\begin{eqnarray} \|G\| \end{eqnarray}$ und sämtliche Untergruppen von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Welche Untergruppen sind auch Normalteiler von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ? Dabei ist $\begin{eqnarray} \|G\| \end{eqnarray}$ die Ordnung von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soviel zur Aufgabe. Ich habe mir jetzt gedacht, dass ich erst mal alle Elemente von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ aufschreibe. Ich bilde also alle möglichen Kombinationen von Elementen des Erzeugendensystems. Das mach ich so lange, bis augenscheinlich nichts neues mehr herauskommt. Ich erhalte dann: $\begin{eqnarray} z= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, \ \ z^2= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ z^3= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ x^2= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ x^3= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ x^4= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} zx= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix}, \ \ z^2x = x^3, \ \ zx^2= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix}, \ \ z^2x^2= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} zx^3= \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \ \ z^2x^3=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xz = zx^3, \ \ x^2z = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, \ \ x^2z^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^3z = \begin{pmatrix} 0 & -i \\-i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, ich glaub da ist alles bei was vorkommen kann. Wenn ich mir jetzt von jedem Vertreter einen packe und die jeweils mit sich selbst verknüpfe bis die Einheitsmatrix rauskommt, dann gibt die maximale Anzahl der nötigen Verknüpfungen doch die Ordnung von G an oder? Wie mach ich das mit den Untergruppen? Gibt es da irgendwie einen konstruktiveren Weg als meinen bisher? Oder macht man das gewöhnlich so? Für eine Untergruppe würde ich dann einfach ein Element nehmen, dann würde ich einfach nach und nach die Elemente in Mengen zusammenfassen und jeweils gucken, ob zu zwei Elementen auch die Verknüpfung und jeweils das Inverse drin ist. Wenn ja, ist es eine Untergruppe, wenn nein, dann nicht. Das wirkt auf mich sehr aufwändig und gewöhnlich gibt es dann elegantere Lösungen, wenn etwas so aufwändig ist . Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen würde. Gruß Martin

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