Newton Verfahren: Einheitswurzel

15.05.2014, 00:58

mathNewton

Newton Verfahren: Einheitswurzel

Meine Frage:
Hallo,

hier die Aufgabe, an der ich gerade sitze.

Wir betrachten nun das Newton-Verfahren zur Lösung von $\begin{eqnarray*} ^{3}\sqrt 1 \end{eqnarray*}$ in der komplexen Ebenen, d.h. z = x + iy $\begin{eqnarray*} \in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Gesucht sind die m-ten Einheitswurzel $\begin{eqnarray*} \zeta_{m} = e^{i\frac{2}{3}m\pi} \end{eqnarray*}$ , m = 0,1,2. Ein Computer kann (ohne explizite Programmierung) mit komplexen Zahlen allerding nicht umgehen. Formulieren Sie das Newton-Verfahren für $\begin{eqnarray*} ^{3}\sqrt 1 \end{eqnarray*}$ im komplexen Fall so um, dass ein Problem im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ gelöst wird.

Meine Ideen:
Was ich zunächst einmal gemacht habe ist, dass ich die gesuchten Einheitswurzel berechnet habe für m = 0,1,2.

$\begin{eqnarray*} \zeta_{0} = e^{i\cdot\frac{2}{3}\cdot 0\cdot\pi} = e^0 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \zeta_{1} = e^{i\cdot\frac{2}{3}\cdot 1\cdot\pi} = e^{i\frac{2}{3}\pi} = \cos (\frac{2}{3}\pi) + i\cdot\sin (\frac{2}{3}\pi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \zeta_{2} = e^{i\cdot\frac{2}{3}\cdot 2\cdot\pi} = e^{i\frac{4}{3}\pi} = \cos (\frac{4}{3}\pi) + i\cdot\sin (\frac{4}{3}\pi) \end{eqnarray*}$

Mit diesen Ergebnissen, kann ich jedoch nicht viel anfangen.
Eigentlich würde man doch die Einheitswurzel folgendermaßen berechnen.

Fall m=0:
$\begin{eqnarray*} x^{0} = 1 <=> 1 = 1 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Fall m=1:
$\begin{eqnarray*} x^{1} = 1 => x = 1 \end{eqnarray*}$

Fall m=2:
$\begin{eqnarray*} x^{2} = 1 => x=\pm 1 \end{eqnarray*}$

Was genau wird jetzt in der Aufgabe verlangt. Die erste Variante $\begin{eqnarray*} \zeta_{m} \end{eqnarray*}$ oder die andere?

Man soll ja $\begin{eqnarray*} ^{3}\sqrt 1 \end{eqnarray*}$ . In der Aufgabenstellung steht, dass man das Newton-Verfahren umformulieren solle. Was ist hiermit gemeint?
Wollen die einfach nur die 3-te Einheitswurzel berechnet haben?

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Lg

15.05.2014, 08:17

ollie3

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RE: Newton Verfahren: Einheitswurzel
hallo,
du kennst doch die rekursionsformel für das newtonverfahren
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{eqnarray*}$ .
In diesem fall wäre $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-1 \end{eqnarray*}$ .
Verlangt wird hier, das du die rekursionsformel sozusagen in 2 rekursionsformeln auseinanderziehst,
nämlich eine für den realteil und eine für de imaginärteil, weil die x-werte ja hier komplexwertig sind.
Dann überleg mal weiter...
gruss ollie3

15.05.2014, 16:58

mathNewton

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RE: Newton Verfahren: Einheitswurzel
Hallo,
ich habe mal versucht deinen Ratschlag umzusetzen.

Zunächst:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{3}-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^{2} \end{eqnarray*}$

Für ein $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} = x_{n} - \frac{x_{n}^{3} -1}{3x^{2}} = \frac{3x_{n}^{3}-x_{n}^{3}-1}{3x_{n}^{2}} = \frac{2x_{n}^{3}-1}{3x_{n}^{2}} = \frac{2}{3}\cdot(x_{n} - \frac{1}{x_{n}^{2}}) \end{eqnarray*}$

Eine andere Möglichkeit wäre gewesen, den Bruch aufzulösen:
Dann würde daraus
$\begin{eqnarray*} x_{n} - \frac{x_{n}^{3}-1}{3x_{n}^{2}} = x_{n} - \frac{x_{n}^{3}}{3x_{n}^{2}}-\frac{1}{3x_{n}^{2}} = x_{n} - \frac{x_{n}}{3} - \frac{1}{3x_{n}^{2}} \end{eqnarray*}$

folgen.

Im Moment aber glaube ich nicht daran, dass ich das geschafft habe, was du mir versucht hast zu erklären.

Ich wollte nur, damit du weißt, wo ich gerade stehe.

Leider weiß ich nicht so recht, wie ich so auseinander ziehen sollte, dass ich auf der einen Seite den Realteil habe und auf der andere Seite den Imaginärteil.

Gruß
mathNewton

15.05.2014, 17:47

ollie3

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RE: Newton Verfahren: Einheitswurzel
hallo,
ja, und jetzt zerlegt man x_n und x_n+1 in seinen real- und seinen imaginärteil,
denn der computer kann ja nicht mit komplexen zahlen umgehen.
Man setzt also x_n=a_n+b_n*i, x_(n+1)=a_(n+1) + b_(n+1)*i und berechnet
also den real und imaginärteil von x_(n+1), wenn a_n und b_n vogegeben sind.
Die rekursionsformel für x_(n+1) hast du ja schon richtig angegeben.
gruss ollie3

15.05.2014, 21:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathNewton
Formulieren Sie das Newton-Verfahren für $\begin{eqnarray*} ^{3}\sqrt 1 \end{eqnarray*}$ im komplexen Fall so um, dass ein Problem im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ gelöst wird.

Vielleicht ist dieser Satz auch so gemeint, dass die Nullstellensuche $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{C}\to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=z^3-1 \end{eqnarray*}$ umgeformt werden soll in eine "Nullvektorsuche" des verwandten Problems $\begin{eqnarray*} \tilde{f}:\;\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \tilde{f}(x,y) := \left( \operatorname{Re}(f(x+iy)),\operatorname{Im}(f(x+iy)) \right) = (x^3-3xy^2-1,3x^2y-y^3) \end{eqnarray*}$ .

Das hierauf angewandte zweidimensionale reelle Newtonverfahren entspricht allerdings rechnerisch genau dem eindimensional komplexen Verfahren, und zwar in allen Schritten und Zwischenergebnissen. Augenzwinkern

16.05.2014, 11:58

mathNewton

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Hallo,

ich habe mal $\begin{eqnarray*} x_{n} \text{ und } x_{n+1} \end{eqnarray*}$ in sein Real -und Imaginärteil aufgeteilt. Folgendes kommt dabei raus.

Da $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{2}{3}(x_{n} - \frac{1}{x_{n}^{2}}) \end{eqnarray*}$ habe ich für $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ den Real und Imaginärteil eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{2}{3}(a_{n} + ib_{n} - \frac{1}{(a_{n}+ib_{n})^2}) = \frac{2}{3}a_{n} + \frac{2}{3}ib_{n} - \frac{2}{3(a_{n}+ib_{n})^{2}} \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2}{3}a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ib_{n+1} = \frac{2}{3}ib_{n} \end{eqnarray*}$ .
Natürlich gibt es noch den letzten Ausdruck. Dieser besteht im Nenner aus einem Real- und Imaginärteil.
Wie wird dieser Ausdruck denn zugeordnet?

Gruß
mathNewton

16.05.2014, 11:58

Ändru

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Hi,

HAL hat vollkommen recht! Du musst die komplexe zerlegen und dann als Vektor schreiben. Wenn du das NV loesen willst, darfst du nicht vergessen dieses als vektorwertiges System zu schreiben.

$\begin{eqnarray*} f'(x_n) \cdot t = - f(x_n) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n + t \end{eqnarray*}$

Also falls du es selbst implementieren willst....

Gruesse

16.05.2014, 12:02

Ändru

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du machst quasi folgendes:

$\begin{eqnarray*} z = a + i \cdot b \end{eqnarray*}$

wird zu

$\begin{eqnarray*} z = \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} z_1 = a \end{eqnarray*}$ Realteil und $\begin{eqnarray*} z_2 = b \end{eqnarray*}$ der Imaginaerteil ist

Gruesse

16.05.2014, 12:20

mathNewton

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Hallo,

ich bin etwas verwirrt. Die Aufgabe verlangt ja, das Newton-Verfahren so umzuändern, dass das Problem im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ gelöst werden.
Was HAL gemacht hat ist, dass er von der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{3} - 1 \end{eqnarray*}$ den Real- und Imaginärteil berechnet hat, und zwar für die neue Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ .
Müsste man es laut Aufgabenstellung nicht das Newton-Verfahren umändern, sprich immer noch die Rekursionsfomel als Ausgangspunkt haben?

Ist der Vorschlag von olle3 nicht richtig?

Gruß
mathNewton

16.05.2014, 12:26

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Zitat:

Original von mathNewton
Hallo,

ich bin etwas verwirrt. Die Aufgabe verlangt ja, das Newton-Verfahren so umzuändern, dass das Problem im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ gelöst werden.
Was HAL gemacht hat ist, dass er von der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{3} - 1 \end{eqnarray*}$ den Real- und Imaginärteil berechnet hat, und zwar für die neue Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ .
Müsste man es laut Aufgabenstellung nicht das Newton-Verfahren umändern, sprich immer noch die Rekursionsfomel als Ausgangspunkt haben?

Ist der Vorschlag von olle3 nicht richtig?

Gruß
mathNewton

Das Machst du doch wenn du das NV als System anwendest und den Startwert gibst du dir doch vor...

16.05.2014, 13:10

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Ich hab dir das mal schnell als Matlab-Beispiel geschrieben... viel erfolg smile

Ich sehe grad du musst wohl den Startwert etwas anpassen... sry, das hab ich verpeilt.

Update: Nun gehts smile

16.05.2014, 13:53

Ändru

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Mir ist ein kleiner Fehler bei der Indizierung unterlaufen... im Anhang nochmal das richtige NV

16.05.2014, 22:01

mathNewton

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Hi,

ich habe mir die Datei heruntergeladen. Ich müsste mich kurz ein wenig in MATLAB einarbeiten bzw. in die Syntax.
Dann werde ich auch den Code verstehen.

Aber da wäre noch eine andere Sache.
Wenn ich die Aufgabe schwarz auf weiß abgeben würde, wie hat sie auszusehen?

Ich habe den Ansatz von olle3 versucht umzusetzen. Leider konnte ich dies nicht zu Ende bringen, da ich nicht wusste wie der letzte Ausdruck zu interpretieren ist. Hier noch einmal als Zitat und oben ist das Original.

Zitat:

Original von mathNewton
Hallo,

ich habe mal $\begin{eqnarray*} x_{n} \text{ und } x_{n+1} \end{eqnarray*}$ in sein Real -und Imaginärteil aufgeteilt. Folgendes kommt dabei raus.

Da $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{2}{3}(x_{n} - \frac{1}{x_{n}^{2}}) \end{eqnarray*}$ habe ich für $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ den Real und Imaginärteil eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{2}{3}(a_{n} + ib_{n} - \frac{1}{(a_{n}+ib_{n})^2}) = \frac{2}{3}a_{n} + \frac{2}{3}ib_{n} - \frac{2}{3(a_{n}+ib_{n})^{2}} \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2}{3}a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ib_{n+1} = \frac{2}{3}ib_{n} \end{eqnarray*}$ .
Natürlich gibt es noch den letzten Ausdruck. Dieser besteht im Nenner aus einem Real- und Imaginärteil.
Wie wird dieser Ausdruck denn zugeordnet?

Ist dieser Weg richtig? Wie ist der letzte Ausdruck zu interpretieren, und zwar der mit dem Real- und Imaginärteil im Nenner?

Auf der anderen Seite gibt es noch den Ansatz von Hal.

Leider bin ich um Moment etwas verunsichert. Wie würde nun ein richtiger und mathematisch korrekter Lösungsweg schwarz auf weiß aussehen?

Gruß
mathNewton

17.05.2014, 07:48

ollie3

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hallo,
der letzte schritt, der dir noch gefehlt hatte, war den bruch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3(a_n+ib_n)^2} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} (a_n-ib_n)^2 \end{eqnarray*}$ zu erweitern, damit du das i aus dem nenner rausbekommst und dann
das errechnete x_(n+1) einfach in seinen real- und seinen imaginäerteil aufspaltest.
gruss ollie3

17.05.2014, 17:39

mathNewton

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Hallo,

vielen Dank für eure Hilfe!
Der Teil mit dem Nenner hat sich auch sehr schnell gelöst. smile

Gruß
mathNewton

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