Äquivalenzrelation

15.05.2014, 08:20

Bombaclad

Äquivalenzrelation

Meine Frage:
Auf der Menge R^(nxn)XR^n wird eine Relation durch
(A,b)R(Atilde,btilde)
genau dann wenn L(A,b)=L(Atilde,btilde)

Zeigen Sie, dass es genau eine Äquivalzenklasse gibt welche nur aus einem Element besteht.

Sorry weiß nicht wie man die kringel auf den Buchstaben für tilde macht. Das R hoch nxn soll eine Matrix im Reellen sein.

Meine Ideen:
Ich habe erstmal gezeigt, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt aber dann war ich mit meinem Latein schon am Ende. Wäre cool wenn mir jemand helfen könnte

15.05.2014, 16:57

dastrian

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RE: Äquivalenzrelation
Klick im Editor auf den "f(x)"-Knopf, dann bist du in der LaTeX-Umgebung. Dort gibt man ein:

code:
1:	\tilde{A}

das schaut dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \tilde{A} \end{eqnarray*}$

Zur Sache;
Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} R^{n \times n} \times R^n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (A,b)R(\tilde{A}, \tilde{b}) \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} L(A,b)=L(\tilde{A}, \tilde{b}) \end{eqnarray*}$ .

Was ist denn $\begin{eqnarray*} L(A,b) \end{eqnarray*}$ ???

Edit: Aaah, eventuell die $\begin{eqnarray*} L(A,b) = \{ x \in \mathbb{R}^n : Ax=b \} \end{eqnarray*}$ . Falls ja: Wovon hängt es denn ab, ob und wieviele Lösungen ein (in)homogenes lineares Gleichungssystem hat?

15.05.2014, 19:13

Bombaclad

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RE: Äquivalenzrelation
Genau aber dazu werden in der Aufgabe keine Angaben gemacht also von der Abhängigkeit

15.05.2014, 21:48

dastrian

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RE: Äquivalenzrelation
Ich meinte auch nicht in der Aufgabe, sondern von deinem Wissen. Man braucht für die Aufgabe nur die elementare lineare Algebra, die man im ersten Semester kennen lernt - eigentlich braucht man für die Aufgabe sogar nur folgendes Wissen:

was Matrizen, Vektoren und Skalare sind, insbesondere also Grundwissen über Vektorräume
wie man mit ihnen rechnet: die Multiplikation von Matrizen mit Vektoren (siehe hier) sowie die Multiplikation von Matrizen und Vektoren mit Skalaren
dass Skalare mit Vektoren und Matrizen kommutieren, d.h. für eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , einen Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und einen Skalar $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ hast, dann gilt $\begin{eqnarray*} A*(r*x) = r*(A*x) \end{eqnarray*}$

Habt ihr das schon behandelt in deiner Vorlesung? Wenn ja, dann hast du im Grunde alles Wissen, das man für die Aufgabe braucht, und es fehlen nur noch die richtigen Ideen.

Eine gute Idee wäre zum Beispiel, $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ beliebig sein zu lassen und dann die Matrix $\begin{eqnarray*} -A \end{eqnarray*}$ und den Vektor $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

17.05.2014, 19:30

Bombaclad

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RE: Äquivalenzrelation
Matrixtheorie haben wir noch nicht gemacht, ew wurden legiglich linerare Gleichsungsysteme eingeführt.
Meinst du bei deiner Idee die Matrix minus A.

Also ich habe das jetzt so verstanden, dass ich eine Lösung des Gleichungsystem finden muss, dass keine vielfache hat bzw. die Leere Menge enthält.

18.05.2014, 01:24

dastrian

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RE: Äquivalenzrelation

Zitat:

Original von Bombaclad
Matrixtheorie haben wir noch nicht gemacht, ew wurden legiglich linerare Gleichsungsysteme eingeführt.

Aber ihr habt schon eingeführt, dass Matrizen lineare Gleichungssysteme repräsentieren, oder? Denn sonst ginge die Aufgabe ja von etwas noch nicht eingeführtem aus. Aber gut, dann muss man eben mit ganz elementaren Methoden arbeiten.

Zitat:

Meinst du bei deiner Idee die Matrix minus A.

Ja.

Zitat:

Also ich habe das jetzt so verstanden, dass ich eine Lösung des Gleichungsystem finden muss, dass keine vielfache hat bzw. die Leere Menge enthält.

Hmmm... nein, oder aber du formulierst es eigenartig. Mach einfach mal folgendes: Nehme dir ganz konkrete Matrizen und Vektoren für den Fall n=2 und überlege dir, wie die jeweiligen Mengen $\begin{eqnarray*} L(A,b) \end{eqnarray*}$ ausschauen. Meine Vorschläge:

$\begin{eqnarray*} A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_4 = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_4 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_5 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_6 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So lernst du kennen, wie Matrizen lineare Gleichungssysteme repräsentieren, und kannst dir vorstellen, welche Mengen du untersuchen muss, und wie es sein oder nicht sein kann, dass zwei Lösungsmengen gleich sind

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