Schwerpunktkoordinaten und Formfunktionen für Finite Elemente Methode

15.05.2014, 09:47	Thorben 12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunktkoordinaten und Formfunktionen für Finite Elemente Methode Meine Frage: Hi, ich lerne zur Zeit für eine Prüfung in Numerik partieller Differentialgleichungen und komme nicht richtig weiter. Es geht um die Finite Elemente Methode, wobei die Finiten Elemente bei uns n-Simplizes sind (also z.B. im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ Dreiecke). Zu einem Vektor $\begin{eqnarray} x\in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und einem n-Simplex mit Ecken $\begin{eqnarray} a_1,...,a_{n+1} \in \mathbb{R}^n, a_j=\begin{pmatrix} a_{j,1} \\ ...\\ a_{j,n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ haben wir die Schwerpunktkoordinaen $\begin{eqnarray} \lambda (x)\in \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray}$ als lösung des LGS $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^n \lambda_j(x)a_{j,i}=x_i,i=1,...,n<br /> \sum _{k=1}^{n+1}\lambda_k =1 \end{eqnarray}$ eingeführt. Dieses System ist für einen Simplex eindeutig lösbar und die Punkte $\begin{eqnarray} \lambda (x) \end{eqnarray}$ liegen genau dann im Simplex, wenn alle Einträge nicht negativ sind(haben wir alles vorher gezeigt). Dann haben wir die Formfunktionen eingeführt. Diese sind Polynome $\begin{eqnarray} L_\mu \end{eqnarray}$ auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ eines vorgegebenen Gerades k zu einem Punkt $\begin{eqnarray} \mu \in \Lambda(k)=\{0,\frac{1}{k},...,\frac{k-1}{k},1\} \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft, dass für alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \Lambda(k) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} L_\mu(\lambda)=\delta_{\mu \lambda} \end{eqnarray}$ . Dann haben wir gezeigt, dass sich jedes Polynom vom Grad k durch die Formfunktionen und Schwerpunktkoordinaten in folgender Form darstellen lässt, $\begin{eqnarray} P(x)=\sum_{\mu \in \Lambda(k)} P(\sum_{j=1}^{n+1} \mu_j a_j)L_\mu(\lambda(x)). \end{eqnarray}$ Das ist dann das Ende des Kapitels. Das ist ja an sich erstmal ein interresantes Resultat, aber ich sehe den Zusammenhang zum Tehma noch nicht ganz. Wie hilft uns dieses Resultat bei der finiten Elemente Methode? Meine Ideen: Ich vermute ganz stark dass man dieses Resultat benutzt um die Steifigkeitsmatrix aufzustellen. Dazu muss ja ein endlich Dimensionaler unterraum eines Sobolevraums gewählt werden. Bei uns sollten das stückweise Polynome eines vorgegenen Gerades sein. Für die Basis $\begin{eqnarray} \xi_1,...,\xi_k \end{eqnarray}$ dieses Raumes muss dann $\begin{eqnarray} B(\xi_i,\xi_j) \end{eqnarray}$ berechnet werden. Wobei B die bilinearform aus der schwachen Formulierung ist. Man nutzt jetzt vielleicht die Formfunktionen um eine basis zu wählen, für die die berechnung von $\begin{eqnarray} B(\xi_i,\xi_j ) \end{eqnarray}$ leicht wird. Aber mir ist nicht wirklich klar wie, oder bin ich mit dieser Idee total auf dem Holzweg? Kennt sich jemand aus und könnte mir einen Tipp geben? Würde mir wirklich helfen, danke schonmal für das leses dieses kleinen Romans! Viele Grüße, Thorben
15.05.2014, 10:25	Thorben 12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, die $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ist nicht aus $\begin{eqnarray} \Lambda (k) \end{eqnarray}$ , sondern die Einträge $\begin{eqnarray} \mu_i \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mu =\begin{pmatrix} \mu_1 \\... \\ \mu_{n+1 }\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sind aus der Menge $\begin{eqnarray} \Lambda (k) \end{eqnarray}$ . Gruß, Thorben

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