Beweis Äquivalenz Unterräume

15.05.2014, 14:40

Skyrider21

Beweis Äquivalenz Unterräume

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ Unterräume des K _ Vektorraums V.Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
i) Für jedes $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ gibt es eindeutig bestimmte Vektoren $\begin{eqnarray*} u_i\in U_i(i=1,2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v=u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} span(U_1\cup U_2)=V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir kommt es eigentlich logisch vor, dass es so ist. Nur habe ich mit Beweisen manchmal meine Probleme.
Ist die Hinrichtung nicht bewiesen daruch, dass es kein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} v \notin span\left(U_1\cup U_2\right) \end{eqnarray*}$ , da gilt $\begin{eqnarray*} v=u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2014, 15:09

bijektion

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Zitat:

Ist die Hinrichtung nicht bewiesen daruch, dass es kein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} v \notin span\left(U_1\cup U_2\right) \end{eqnarray*}$ , da gilt $\begin{eqnarray*} v=u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ ?

Das ist aber nicht alles, es ist noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ .

15.05.2014, 15:38

Skyrider21

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Ok.
Das heißt ich muss nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} v = 0 \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig bestimmt ist, wenn der Schnitt mehr als den Nullvektor enthält?

Sei $\begin{eqnarray*} w \in U_1 \cap U_2 \Rightarrow w^{-1} \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$
Das ist doch dann ein Widerspruch zur Aussage, dass sie eindeutig bestimmt sind, da
$\begin{eqnarray*} v = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} v = w + w^{-1} = 0 <br /> \Rightarrow w,w^{-1} = 0<br /> \end{eqnarray*}$

15.05.2014, 16:03

bijektion

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Du musst doch zeigen, dass wenn i) gilt sofort ii) folgt. Das machst du hier nicht.
Die Aussage, das $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ gilt, folgt weil die Darstellung eindeutig gefordert wird.
Also: Angenommen es gäbe $\begin{eqnarray*} v' \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es Vektoren aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ wodurch sich $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ darstellen lässt, und auch welche aus $\begin{eqnarray*} U_2 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Widerspruch! (Warum?)
Erst jetzt hast du die erste Richtung gezeigt.

Ist dir die Rückrichtung klar?

15.05.2014, 16:16

Skyrider21

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$\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bzw. auch $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ wird doch aber von $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ dargestellt. Und diese Darstellung soll eindeutig sein ,nicht die Darstellung eines $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ in den Unterräumen, oder die etwa auch?
Weil ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ muss ja nicht in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und/oder in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ liegen.

Entschuldigung,falls ich mich gerade sehr blöd anstelle. Hammer

15.05.2014, 16:21

Skyrider21

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Und die Rückrichtung geht doch ähnlich.

Annahme: $\begin{eqnarray*} \exists v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \neq u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$
Das wäre aber ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} span\left(U_1\cup U_2\right)= V \end{eqnarray*}$

15.05.2014, 16:25

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bzw. auch $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ wird doch aber von $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ dargestellt

Ja und? Wenn $\begin{eqnarray*} v' \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist doch insb. $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ Unterräume sind.
Jetzt hat $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ aber keine eindeutige Darstellung. Denn wenn es in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ liegt, dann kann man es schonmal mindestens auf zwei Weisen darstellen, nämlich:
a) Mit der Basis von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0=u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$
b) Genau andersherum; mit der Basis von $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0=u_1 \in U_1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und die Rückrichtung geht doch ähnlich.

So nicht. Da fehlt wieder die Voraussetzung das $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ leer ist.

15.05.2014, 17:06

Skyrider21

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Ohman ja klar! Das check ich jetzt auch endlich^^ Hammer

Nur muss ich jetzt noch zeigen, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ eindeutig sind und es nicht $\begin{eqnarray*} u_1',u_2' \end{eqnarray*}$ , damit diese auch v ergeben oder wie?

unglücklich

15.05.2014, 17:20

bijektion

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Zitat:

Für die Rückrichtung? Da musst du voraussetzen: $\begin{eqnarray*} \langle U_1\cup U_2 \rangle=V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt weißt du also das $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der kleinste Vektorraum ist, der $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ enthält und als nebenbei auch noch, das die beiden Teilräume nur die Null gemeinsam haben.
Dann schreibt man auch $\begin{eqnarray*} V=U_1 \textcircled{+} U_2 \end{eqnarray*}$ .
Was musst du jetzt folgern?

15.05.2014, 17:57

Skyrider21

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Also ich muss ja irgendwie auf die Eindeutigkeit kommen.
Dann nehme ich an, dass es zwei Darstellungen für v gibt:
$\begin{eqnarray*} v=u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = u_1' + u_2' \end{eqnarray*}$
wenn ich das gleich setze habe ich:
$\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 = u_1' + u_2' \end{eqnarray*}$
Wenn ich das nun umforme kommt raus
$\begin{eqnarray*} u_1 - u_1' = u_2 - u_2' \end{eqnarray*}$
Da die beiden Seiten gleich sind, müssen die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} u_1 - u_1' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 - u_2' \end{eqnarray*}$ im Schnitt liegen. (=> müsen 0 sein)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow u_1=u_1' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow u_2=u_2' \end{eqnarray*}$
Was dann doch zur Eindeutigkeit von v führt oder?

15.05.2014, 18:02

bijektion

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Das sollte so klappen.

15.05.2014, 18:03

Skyrider21

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Ohman. Danke für deine Hilfe! Gott