Matrix von phi bezüglich der Basen S_1, S_2, S_3 berechnen

15.05.2014, 14:59	MathigMühsam	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix von phi bezüglich der Basen S_1, S_2, S_3 berechnen Meine Frage: Hallo, ich habe eine Problem mit der Basisumrechnung, da ich als Basen ganze Matrizen angegeben habe und keine einzelnen Vektoren mehr. Das bringt mich jetzt völlig durcheinander. Könnt ihr mir helfen? Die Aufgabe lautet: Es sei V der Vektorraum der reellen symmetrischen Matrizen und $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}\in V \end{eqnarray}$ . Der Endomorphismus $\begin{eqnarray} \phi:V->V \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} \phi(S)= A^{t}SA \end{eqnarray}$ . Man berechne die Matrix von \phi bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} S_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} S_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} S_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ von V. Meine Ideen: Also ich habe jetzt $\begin{eqnarray} \phi(S_1)=AS_1A=\begin{pmatrix} a^{2} & ab \\ ab & b^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \phi(S_2)=AS_2A=\begin{pmatrix} 2ab & b^{2}+ac \\ b^{2}+ac & 2cb \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \phi(S_3)=AS_3A=\begin{pmatrix} b^{2} & bc \\ bc & c^{2} \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ berechnet, kann ich jetzt über koeffizientenvergleich auf eine $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ - matrix kommen? Das kommt mir überhaupt nicht richtig vor. Wie arbeite ich den mit den 3 Matrizen als Basis? Danke schon mal, für euere Hilfe
15.05.2014, 15:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \phi(S_1)=a^2S_1+abS_2+b^2S_3\Rightarrow M_{\phi}=\begin{pmatrix} a^2 & & * \\ ab & * & * \\ b^2 & * & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ In den Spalten einer Darstellungsmatrix stehen immer die Bilder der Basisvektoren.
15.05.2014, 16:10	MathigMühsam	Auf diesen Beitrag antworten »
aaaah jeeetzt...Danke!!!

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