euler ist kleiner als 3!

15.05.2014, 21:39

akamanston

euler ist kleiner als 3!

hollo, ich versichere euch, es ist die letzte aufgabe für heute Big Laugh

also lets go.
zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n} )^{n} \leq 3 \end{eqnarray*}$

tipps
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\\end{pmatrix} \leq \frac{1}{k!}\leq (\frac {1}{2}) ^{k-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n q^{k} = \frac{1-q^{n+1} }{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n} )^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\\end{pmatrix} (\frac {1}{n}) ^{k} \end{eqnarray*}$

die einfachsten dinger habe ich schon gemacht.
nun bin ich hier angekommen.
$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1} }{1-q} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist ja nur eingesetzt und dann den bruch rausgezogen, ich denke das darf ich so machen. nun muss ich wohl irgendwie abschätzen, oder?

15.05.2014, 22:27

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1} }{1-q} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf?

15.05.2014, 22:32

akamanston

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oh,
ich dachte das ich das machen darf.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\\end{pmatrix} (\frac {1}{n}) ^{k}= \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\\end{pmatrix}\frac{1-q^{n+1} }{1-q} \end{eqnarray*}$

aber das ginge nur bei de summe, da könnte ich das aufteilen. hmm

15.05.2014, 22:34

bijektion

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Nein, das geht so nicht. Du könntest eine der vorgegebenen Abschätzungen nutzen um den Term in der Summe zu vereinfachen.

EDIT: Ich bin bis morgen früh raus. Wink

15.05.2014, 22:36

akamanston

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hm, also musste ich den binomialkoeffizient ersetzen durch 1/k! oder (1/2)^(k-1). darf ich das überhaupt erst machen weil in beiden ungleichungen <= steht?

vielleicht kann wer anders eingreifen^^

16.05.2014, 08:02

bijektion

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Zitat:

darf ich das überhaupt erst machen weil in beiden ungleichungen <= steht?

Na und?

Zitat:

tipps $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\\end{pmatrix} \leq \frac{1}{k!}\leq (\frac {1}{2}) ^{k-1} \end{eqnarray*}$

Hier passt doch irgendwas nicht. Wähle $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\\end{pmatrix}=5 \geq \frac{1}{1!}=1 \end{eqnarray*}$ .

Du kannst das ganze Eischachteln durch: $\begin{eqnarray*} 2 \leq (1+\frac{1}{n})^n \leq \sum\limits_{k=0}^n k! \leq \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{2^{k}} \leq 3 \end{eqnarray*}$ .
Um diese Kette zu zeigen benötigst du nur die geometrische Summenformel, die Bernoulli-Ungleichung und $\begin{eqnarray*} \frac{n-k+1}{k}\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

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