Reihenentwicklung

16.05.2014, 14:10	marbars	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenentwicklung Meine Frage: Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: Berechnen sie die werte ln(1,5) und ln(2) auf 6 Dezimalstellen genau mit Hilfe einer Reihenentwicklung für die Funktion ln mit Entwicklungszentrum 1. Meine Ideen: habe folgende formel: $\begin{eqnarray} (x-1)^{1}-\frac{1}{2}(x-1)^{2}+\frac{1}{3}(x-1)^{3} \end{eqnarray}$ usw... kann ich für x einfach 1,5 einsetzen und die formel beliebig weit ausführen ? und was ist das Entwicklungszentrum ?
16.05.2014, 16:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das "Entwicklungszentrum" ist einfach die Stelle (x0), an der die Reihe entwickelt wurde (Entwicklungspunkt). Diese ist bei der ln-Funktion normalerweise 1, also wird die Reihe für ln(1+x) erstellt. Dabei ist der Konvergenzradius 1 bzw. das Konvergenzintervall ]-1; 1], das heisst nur für Werte aus diesem Intervall ist die Reihe konvergent. Deine Formel stimmt ebenso, in dieser wurde anstatt x+1 eine andere Variable, z.B. u gesetzt. Demnach ist das Konvergenzintervall hier dann ]0; 2] $\begin{eqnarray} \ln u = (u-1) - \frac{(u-1)^2}2 + \frac{(u-1)^3}3 - .. \end{eqnarray}$ Dabei kann (infolge der Konvergenz) die Summe beliebig weit ausgeführt werden, dies musst du so lange machen, bis sich die Zwischenergebnisse (Teilsummen) in den ersten 6 Dezimalstellen nicht mehr unterscheiden. Anmerkung: Bei ln(2) z.B. ist die Konvergenz äußerst schwach, es sind exorbitant viele Summanden* notwendig ... Zur Berechnung eignet sich besser ein Tabellenkalkulationsprogramm. [attach]34292[/attach] (*) Bei mehr als 5000 Summanden ist man noch immer nicht am Ziel, dabei sind erst 3 Nachkommastellen gesichert.! Daher werden wir uns mit einem Trick behelfen: Berechne anstatt ln(2) besser ln(0,5), da genügen - wie auch bei ln(1,5) - bereits ca. 20 Summanden. Und dann wissen wir: ln(2) = -ln(1/2) = -ln(0,5) mY+
17.05.2014, 11:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die schlechte Konvergenz läßt sich mit einem Korrektursummanden verbessern: $\begin{eqnarray} - \frac{1}{4n-1} + \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} < \ln 2 < \frac{1}{4n+1} + \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n = 10: \ \ 0{,}69313 \ldots < \ln 2 < 0{,}69316 \ldots \ \ \Rightarrow \ \ \ln 2 = 0{,}6931 \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n = 1000: \ \ 0{,}69314718054 \ldots < \ln 2 < 0{,}69314718057 \ldots \ \ \Rightarrow \ \ \ln 2 = 0{,}6931471805 \ldots \end{eqnarray}$ Immerhin ...

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