Pyramidenaufgabe

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16.05.2014, 20:18	Proton	Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramidenaufgabe Ich habe eine Aufgabe, wo ich die Geradengleichungen der Diagonalen AC und BD des Rechtecks bestimmen soll und den Schnittpunkt M. Dazu sind die Punkte A(0/1/0) B(4/3/2) C(2/5/4) und die Spitze der Pyramide S(1/1/4) gegeben. Die Grundfläche ist ein Rechteck. Zudem bilden die Punkte mit der Grundfläche ABCD und der Spitze S. Ich soll a) Die Geradengleichungen des Rechtecks AC und BD bestimmen und den Schnittpunkt M. b) Zeigen, das der Vektor MS senkrecht zu den Diagonalen steht und zudem soll ich das Volumen der Pyramide berechnen. Bei a muss ich dann ja einfach den Vektor 0A, also einfach als Ortsvektor für die erste Gerade und dann halt AC als Richtungsvektor und bei der zweiten halt auch so, bloß von B ausgehend oder? Die Schnittpunkte dann die Geraden gleichsetzen oder? Dann habe ich ja M und dann kann man ja den Vektor MS bestimmen aber wie zeige, ich das der Vektor senkrecht zu den Diagonalen steht. Das Volumen der Pyramide kann man dann ja mit der Formel für die Pyramide berechnen und dafür halt die Vektoren nehmen aber muss man dann das Skalarprodukt nehmen oder einfach mal und plus?
16.05.2014, 21:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Fange doch schon mal mit der Rechnung an und schreibe die Zwischenergebnisse, dabei kann man dir dann weiterhelfen. Hinweise: - Das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist Null. - Das Volumen der Pyramide wird vorteilhaft mittels des Spatproduktes berechnet, es ist 1/6 desselben. mY+
16.05.2014, 21:31	Proton	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramidenaufgabe Okay. Die Gerade AC g: x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + r $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Gerade von BD: g: x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + s $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hatte übrigens den Punkt D vergessen, er lautet: D(-2/3/2)
16.05.2014, 22:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bis jetzt stimmt alles. Wie geht es weiter?
16.05.2014, 23:09	Proton	Auf diesen Beitrag antworten »
Für r und s habe ich 0,5 rausgekriegt. Vektor MS = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber wie beweise ich jetzt, das der Vektor MS senkrecht zu den Diagonalen steht und wie rechne ich das Volumen der Pyramide aus?
16.05.2014, 23:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Weshalb fragst du dies, hast du beide Hinweise in meinen Post zuvor nicht gelesen?
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17.05.2014, 15:51	Proton	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm .. naja, das erste kommt mir bekannt vor, das habe ich jetzt auch mal gemacht, also Vektor MS mit Vektor AC Skalar multipliziert und dasselbe mit Vektor BD und da kam beide male 0 raus, also steht der Vektor MS senkrecht zu den Diagonalen AC und BD. Das mit dem "Spatprodukt" kenne ich allerdings nicht und das habe ich auch glaube ich noch nie gehört. Gibt es da noch andere Möglichkeiten? Ich habe auch noch eine andere Aufgabe. Könnte mal einer prüfen, ob das Ergebnis richtig ist? Ich soll eine Paramter -und Koordinatenform mit diesen Punkten aufstellen. A(4/2/1) B(0/-5/2) C(1/1/3) und nachher prüfen, ob der Punkt D(1/2/3) uf der Ebene liegt. Ich habe da für die Paramterform E: x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + r $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + s $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für den Normalenvektor habe ich dann Vektor n $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{11}{13} \\ \frac{14}{13} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ EDIT: Ich habe das mit der Punktprobe vergessen. Ich habe für die Ebene, also die Zahl hinten (bei mir d) $\begin{eqnarray} \frac{44}{13} \end{eqnarray}$ raus und als ich den Punkt eingesetzt habe, also d kam $\begin{eqnarray} \frac{33}{13} = \frac{44}{13} \end{eqnarray}$ raus, somit liegt der Punkt ja nicht auf der Ebene, vorrausgesetzt mein Ergebnis ist richtig. ist das soweit richtig?
17.05.2014, 21:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Spatprodukt dreier Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \ \vec b, \ \vec c \end{eqnarray}$ lautet $\begin{eqnarray} (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c \end{eqnarray}$ Es ist also gleich dem skalaren Produkt des Vektorproduktes der ersten beiden Vektoren mit dem dritten Vektor. Auf Grund der geometrischen Eigenschaften des Vektorproduktes und gleichzeitig auch des Skalarproduktes ist das Resultat gleich dem Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spates (Parallelepiped, Parallelflach). Der Spat ist nichts anderes als ein schiefes Prisma mit einem Parallelogramm als Grund- und Deckfläche. Das zugehörige dreieckige Prisma hat dann das halbe Volumen und für die Pyramide muss man dieses nochmals dritteln, demnach ist das Volumen der Pyramide 1/6 des Volumens des Spates. EDIT: Das würde für eine dreiseitige Pyramide gelten! Jetzt sehe ich aber in der Angabe, dass es sich um eine vierseitige Pyramide handelt, also ist deren Volumen klarerweise einfach 1/3 des Spatvolumens. Das Spatprodukt ist auch gleich dem Wert der dreireihigen Determinante, welche man mit den Komponenten der gegebenen Vektoren als Spaltenvektoren aufstellen kann. Alternativ kann natürlich auch konventionell, allerdings mit deutlich größerem Aufwand, gerechnet werden. Also als Grundfläche die Vierecksfläche bestimmen, dann die Länge der Höhe und schließlich mittels der Volumenformel V = Gh/3 berechnen. In allen Fällen sollte sich das Volumen der Pyramide mit 16 VE* ergeben. ______________ Zum anderen: Der Normalvektor stimmt nicht, ausserdem kannst du den Normalvektor so erweitern (mit einem Skalar multiplizieren), dass keine Brüche mehr in den Komponenten stehen; die Konstante rechts wird sich dann ebenfalls nach Einsetzen der Koordinaten eines Ebenenpunktes entsprechend verändern. Der richtige Normalvektor ist übrigens (13; - 5; 17)T mY+
17.05.2014, 23:50	Proton	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, das mit der Pyramide werde ich dann mal vielleicht morgen machen. Das mit dem Normalenvektor habe ich jetzt noch einmal neu gerechnet und dieses mal kriege ich Vektor n = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{5}{13} \\ \frac{17}{13} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus. Das ist doch dann richtig oder? Als zahl d dann $\begin{eqnarray} \frac{59}{13} \end{eqnarray}$ und für die Punktprobe bekomme ich $\begin{eqnarray} \frac{54}{13} = \frac{59}{13} \end{eqnarray}$ somit liegt der Punkt nicht auf der Ebene. Ist das so richtig? Das mit den Brüchen oder ungeraden Zahlen ist mir auch eigentlich egal, solange das Ergebnis stimmt.
18.05.2014, 18:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt jetzt. Es ist aber trotzdem besser, wenn du deinen Normalvektor mit 13 multiplizierst, dann bekommst du (13; -5; 17), bei der Punktprobe 59 und nach Einsetzen des Punktes (1, 2; 3) den Wert 54. Lies bitte noch das EDIT hinsichtlich des Pyramidenvolumens im vorigen Beitrag! mY+

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