Integralrechnung am Beispiel eines Wal-Logos

16.05.2014, 20:22

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung am Beispiel eines Wal-Logos

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe folgendes Problem und zwar sitze ich gerade an meiner Matheaufgabe und bin total aufgeschmissen, da ich sie einfach nicht lösen kann und ich sie leider Dienstag in der Schule an der Tafel präsentieren muss :/ Ich hoffe Ihr könnt mir mit Ansätzen oder sonstigem weiterhelfen, habe leider nichts hilfreiches im Internet gefunden, was mich weitergebracht hat :/

Vielen Dank schonmal im Voraus für Eure Mühe und Hilfe <3

Also die Matheaufgabe lautet wie folgt : (falls jemand von euch folgendes Buch hat : Mathematik, Gymnasiale Oberstufe, Nordrhein-Westfalen, Qualifikationsphase, Grundkurs, Cornelsen Verlag, findet diese Aufgabe auf Buch, Seite 108 Nr. 26 'Vereinslogo')

Der Marineclub erhält ein neues 5 m langes Vereinslogo in Form eines stilisierten Wals. Es soll beidseitig mit Zinkfarbe gestrichen werden, um es wetterfest zu machen. Der Anstrich soll mindesten 1 mm dick sein. Reichen 10 Liter Farbe aus? Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass die Schwanzflosse des Logos 1 m lang ist.

Gegeben ist folgendes: f(x)=?x , 0<x<4 g(x)=1/9 (x^2-8x+16) , 0<x<4

(siehe zusätzlich Bild im Anhang)

Meine Ideen:
Also den Halbkreis berechnet man mit dem Radius r = f(4)/2 = 2/2 = 1, der die Fläche r²pie/2 = pie/2 hat.

Und weiter komm ich nicht :/
Also ich weiß, dass ich die Integrale brauche, aber ich weiß nicht welche und wie ich die Schwanzflosse berechnen soll ._.

16.05.2014, 20:25

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist das Bild ?

16.05.2014, 20:32

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann die Datei irgendwie nicht hochladen :/

16.05.2014, 20:38

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt hab ich's geschafft, die Datei war zu groß Hammer

Hammer

16.05.2014, 20:40

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. smile

smile

Die Schwanzflosse ist offensichtlich einen 1 m lang. Wie kommt denn die Schwanzflosse zustande ?

16.05.2014, 20:42

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh deine Frage jetzt nicht ganz verwirrt

verwirrt

Also die Grafik habe ich aus dem Mathebuch entnommen.

Anzeige

16.05.2014, 20:45

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

smile

Das ist mir schon klar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast ja im Intervall von $\begin{eqnarray*} I:[0|1] \end{eqnarray*}$ die Schwanzflosse. Wie kommt aber diese Schwanzflosse zustande ?

Damit die Schwanzflosse zustande kommt, müssen sich doch beide Funktionen schneiden. Und mit dieser Information, solltest du in der Lage sein, nachzuweisen, dass die Schwanzflosse einen Meter lang ist.

16.05.2014, 20:49

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, tut mir leid, ich hab die Frage total falsch verstanden Hammer

Hammer

Da ich leider total schlecht in Mathe bin, fällt mir echt nicht ein, wie ich das nachweisen kann unglücklich

unglücklich

16.05.2014, 20:52

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du wie man überprüft, ob zwei Funktionen, einen gemeinsamen Punkt haben oder sich in dem selben Punkt schneiden ?

16.05.2014, 21:10

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich muss doch einfach f(x)=g(x) setzen, oder?

Also dann:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=\frac{1}{9}*(x^{2}-8x+16) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } = \frac{1}{9}*(x^{2}-8x+16) \end{eqnarray*}$

(Zwischenrechnung :
Binomische Formel :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9}*(x^{2}-8x+16) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{9}x^{2}- \frac{8}{9}x+\frac{16}{9}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } = \frac{1}{9}x^{2}- \frac{8}{9}x+\frac{16}{9}) \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt das x ausklammern?

Also so:

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } = x *( \frac{1}{9}x- \frac{47}{144} ) \end{eqnarray*}$

? :/

Edit (mY+): LaTeX berichtigt. Du hast vergessen, die Ausdrücke in LaTeX-Klammern (Tags) zu setzen.

16.05.2014, 21:20

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich springe kurz ein, damit es nicht zu unübersichtlich wird .. (ich hoffe, Bonheur hat nichts dagegen):

Die letzte Zeile stimmt nicht.

Die Gleichung 4. Grades ist ausserdem so nicht leicht zu lösen.
Du sollst lediglich zeigen, dass der Punkt (1; 1) auf beiden Graphen liegt.
Dazu sind dessen Koordinaten einfach einzusetzen ...

16.05.2014, 21:26

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich die Koordinaten einfach in beide Gleichungen einsetzen und diese dann miteinander gleichsetzen?

16.05.2014, 21:30

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst beide Funktionen gleichsetzen und dann für x jeweils eins einsetzen.

@mYthos

Ich habe nichts dagegen, ganz im Gegenteil. Ich freue mich immer, wenn jemand dabei ist. smile

smile

16.05.2014, 21:33

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich das richtig verstanden habe dann so?

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } = \frac{1}{9}x^{2}- \frac{8}{9}x+\frac{16}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1^{\frac{1}{2} } = \frac{1}{9}1^{2}- \frac{8}{9}*1+\frac{16}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{1}{9}- \frac{8}{9}+\frac{16}{9} \end{eqnarray*}$
1 = 1

Also hab ich damit jetzt bewiesen, dass die Schwanzflosse 1 m lang ist smile

smile

Tut mir leid, dass ich so anstrengend bin Hammer

Hammer

16.05.2014, 21:39

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Damit hast du gezeigt, dass der gemeinsame Punkt bei P(1|1) liegt.

16.05.2014, 21:42

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Vielen Dank smile

smile

Und wie kann ich jetzt berechnen ob die 10 Liter Farbe reichen? :/
Ich muss doch glaub ich irgendwie die Integrale bestimmen und dann dafür die Flächen berechnen, die dann addieren und dann hab ich das Ergebnis. Aber wie komm ich denn auf die bestimmten Integrale? Und muss ich irgendwas besonderes beachten?

16.05.2014, 21:46

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst auf den Halbkreis achten. Und ich würde die Fläche in Teilintervallen berechnen:

$\begin{eqnarray*} I:[0|1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II:[1|4] \end{eqnarray*}$

Kannst du nachvollziehen, warum ich diese Teilintervalle gewählt habe ?

16.05.2014, 21:58

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Den $\begin{eqnarray*} II:[1|4] \end{eqnarray*}$ , weil die 4 beim beginn des Halbkreises ist und die 1 weil da die Flosse beginnt und sich dadurch eine leichter zu berechnende Fläche ergibt?
Das Intervall kann ich mir nicht erklären :/

16.05.2014, 22:01

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Guck dir mal deine Abbildung an.

Im Intervall $\begin{eqnarray*} I:[0|1] \end{eqnarray*}$ liegt g(x) über f(x) und bei $\begin{eqnarray*} II:[1|4] \end{eqnarray*}$ liegt f(x) über g(x).

Nun habe ich eine Frage an dich: Warum muss man berücksichtigen, ob g(x) über f(x) liegt oder umgekehrt ?

16.05.2014, 22:05

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil sich die beiden Graphen zweimal schneiden bzw. berühren und sich damit eine eingeschlossene Fläche ergibt?

16.05.2014, 22:12

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ergibt sich eine eingeschlossene Fläche.

Du musst halt überlegen, wie du nun den Flächeninhalt berechnest.

Angenommen du berechnest den Flächeninhalt von f(x) im Intervall von $\begin{eqnarray*} I:[0|1] \end{eqnarray*}$

[attach]34297[/attach]

Erkennst du die Problematik ?

16.05.2014, 22:16

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die Fläche ja gar nicht genau bestimmen, weil sich immer ein Teil der Fläche außerhalb des zu berechnenden Bereichs befinden, oder?

16.05.2014, 22:18

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie lösen wir das Problem ?

16.05.2014, 22:42

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss doch erstmal die Differenzfunktion bilden

Also :

$\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)-g(x)=(\sqrt{x} )-(\frac{1}{9}x^2-\frac{8}{9}x+\frac{16}{9})=\frac{1}{9}x^2+\sqrt{x} -\frac{8}{9}x+\frac{16}{9} \end{eqnarray*}$

Und dann müsste ich die Flächeninhalte mit den Teilintegralen berechnen :

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! h(x) \, dx = [\frac{1}{27}x^3+\frac{2x^3}{2}-\frac{4}{9}x^2+\frac{16}{9}x]=2,52 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \! h(x) \, dx =[\frac{1}{27}x^3+\frac{2x^3}{2}-\frac{4}{9}x^2+\frac{16}{9}x]=7,57 \end{eqnarray*}$

A1=2,52 ; A2=7,57

Und jetzt fehlt mir nur noch die dritte Fläche für den Halbkreis oder?
Aber ich bin etwas unsicher wie ich den berechnen soll :/

Also den Halbkreis berechnet man ja mit dem Radius
$\begin{eqnarray*} r =f(4)/2=2/2=1 \end{eqnarray*}$ , also müsste er die Fläche $\begin{eqnarray*} r²\pi/2=\pi/2 \end{eqnarray*}$ haben, oder?

Das wären das dann ja ungefähr A3=6,28

Also müsste ich jetzt :

$\begin{eqnarray*} A=A1+A2+A3=2,52+7,57+6,28=1637/100=16,37 \end{eqnarray*}$

Also werden insgesamt 16,37 Liter Farbe gebraucht, oder?

16.05.2014, 22:49

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JessicaPetra
Also :

$\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)-g(x)=(x^1/2)-(1/9 x^2-8/9 x+16/9 )=1/9x^2+x^1/2-8/9x+16/9 \end{eqnarray*}$

Leider scheitert es schon am Anfang.

Korrekt muss es lauten:

$\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)-g(x)=\left(\sqrt{x}\right)- \left(\frac{1}{9}x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{9}\right)=-\frac{1}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x+\sqrt{x}-\frac{16}{9} \end{eqnarray*}$

16.05.2014, 22:55

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich hab doch die selbe Gleichung nur in der falschen Reihenfolge :/
Hatte Probleme beim eintippen, hab's jetzt verbessert, aber meine Gleichung müsste doch stimmen.

16.05.2014, 23:00

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

Du hast falsch ausgeklammert.

Betrachten wir den Fall, da wo du einen Denkfehler hast:

$\begin{eqnarray*} -1 \cdot\left(\frac{1}{9}x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{9}\right)= \end{eqnarray*}$

Du musst jeden Summanden mit -1 multiplizieren !

16.05.2014, 23:19

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah jetzt seh ich's Hammer

Hammer

Also :

$\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)-g(x)=(\sqrt{x})-(\frac{1}{9}x^2-\frac{8}{9}x+\frac{16}{9})=-\frac{1}{9}x^2+\sqrt{x} +\frac{8}{9}x-\frac{16}{9} \end{eqnarray*}$

Und dann müsste ich die Flächeninhalte mit den Teilintegralen berechnen :

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! h(x) \, dx = [-\frac{1}{27}x^3+\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} +\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{9}x]=\frac{233}{180}=1,29 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \! h(x) \, dx =[-\frac{1}{27}x^3+\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} +\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{9}x]=\frac{5143}{180}=28,57 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A1=\frac{233}{180}=1,29 ; A2=\frac{5143}{180}=28,57 \end{eqnarray*}$

Also den Halbkreis berechnet man ja mit dem Radius
$\begin{eqnarray*} r =f(4)/2=2/2=1 \end{eqnarray*}$ , also müsste er die Fläche $\begin{eqnarray*} r²\pi/2=\pi/2 \end{eqnarray*}$ haben, oder?

Dann wären das dann ja ungefähr $\begin{eqnarray*} A3=\frac{157}{25}=6,28 \end{eqnarray*}$

Also müsste ich jetzt :

$\begin{eqnarray*} A=A1+A2+A3=\frac{233}{180}+\frac{5143}{180}*\frac{157}{25}=\frac{2711}{75}=36,146 \end{eqnarray*}$

Das müsste jetzt richtig sein, oder?

Aber was hat es jetzt mit der 5 m Länge auf sich und die 1 mm dicke? Muss ich das noch irgendwie da drin berechnen, oder bin ich jetzt fertig?

16.05.2014, 23:38

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JessicaPetra

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! h(x) \, dx = [-\frac{1}{27}x^3+\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} +\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{9}x]=\frac{233}{180}=1,29 \end{eqnarray*}$

Hier haben sich wieder Fehler eingebaut.

1. Notation.

2. Das Ergebnis stimmt nicht !

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! h(x) \, dx = \left[-\frac{1}{27}x^3+\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} +\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{9}x\right]_0^{1}= \end{eqnarray*}$

Wir tasten uns ganz langsam an die Lösung. Gehe nur auf die Sachen ein, die ich dir vorgebe. So kommen wir schneller voran. smile

smile

16.05.2014, 23:44

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich hab anstatt ein ,,minus'' ein ,,plus'' eingegeben, hatte mich schon gewundert, warum keins der Ergebnisse im negativen Bereich ist Hammer

Hammer

Also müsste das Ergebnis $\begin{eqnarray*} -\frac{29}{60}=-0,483 \end{eqnarray*}$
Und das andere Ergebnis dann $\begin{eqnarray*} \frac{343}{180}=1,905 \end{eqnarray*}$ sein?

16.05.2014, 23:51

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein auch nicht.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! h(x) \, dx = \left[-\frac{1}{27}x^3+\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} +\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{9}x\right]_0^{1}=-\frac{1}{27}+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{16}{9}-\left(0\right)=-\frac{19}{27} \end{eqnarray*}$

16.05.2014, 23:57

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Hä ich blick da nicht durch ._.
Aber guck mal, wenn man das im Internet in den Integralrechner eingibt, kommt da auch mein Ergebnis raus :o

16.05.2014, 23:58

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso gibst du oben in die Leiste die integrierte Funktion ein ?

17.05.2014, 00:04

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Achja stimmt wie doof von mir, ich darf da ja nicht mit der integrierten Funktion rechnen Hammer

Hammer

Also das eine Ergebnis ist dann :

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! h(x) \, dx = \left[-\frac{1}{27}x^3+\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} +\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{9}x\right]_0^{1}=\frac{-19}{27}=-0,703 \end{eqnarray*}$

und das andere ist dann

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \! h(x) \, dx = \left[-\frac{1}{27}x^3+\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} +\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{9}x\right]_0^{1}=\frac{11}{3}=3,66 \end{eqnarray*}$

17.05.2014, 00:09

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JessicaPetra
Achja stimmt wie doof von mir, ich darf da ja nicht mit der integrierten Funktion rechnen Hammer

Wenn du mit der integrierten Funktion arbeitest, dann würde die integrierte Funktion nochmals integriert werden.

------------------------------------------------------------

Alles korrekt außer:

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \! h(x) \, dx = \left[-\frac{1}{27}x^3+\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} +\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{9}x\right]_1^{4}=\frac{11}{3}=3,66 \end{eqnarray*}$

Du hast anstatt eins und vier, eins und null als Grenzen gewählt.

17.05.2014, 00:11

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt

Big Laugh

Oh, stimmt, aber das Ergebnis müsste stimmen, hab nur was falsches dahin geschrieben smile

smile

Muss ich jetzt einfach die beiden Ergebnisse mit denen des Halbkreises berechnen? smile

smile

17.05.2014, 00:13

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Summe bilden.

17.05.2014, 00:18

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Summe wäre dann doch : 9,24296

weil : $\begin{eqnarray*} \frac{-19}{27}+\frac{11}{3}+\frac{157}{25}=9,24296 \end{eqnarray*}$

also reichen 10 Liter Farbe aus. Jetzt richtig? smile

smile

17.05.2014, 00:20

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe schon vorgeahnt, dass sich dieser Denkfehler einbaut.

Wieso möchtest du denn die Flächeninhalte voneinander abziehen ? Dann hast du ja weniger Fläche als nötig ist.

Und wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{157}{25} \end{eqnarray*}$

17.05.2014, 00:22

JessicaPetra

Auf diesen Beitrag antworten »

Also in der Schule haben wir es so gemacht, dass wir alle Flächeninhalte miteinander verrechnet haben und die $\begin{eqnarray*} \frac{157}{25} \end{eqnarray*}$ hatte ich ja schon vorher berechnet, also das wäre dann der Halbkreis.

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »