Binomialkoeffizient

17.05.2014, 00:13

Corvales

Binomialkoeffizient

Guten Abend...

Ich habe einen gedanklichen Aussetzer und hoffe, dass sich vielleicht jemand erbarmt, mir mein Problem zu erklären. Ich muss dazu sagen, dass meine Schulzeit schon seeehr weit hinter mir liegt. Allerdings habe ich in den vergangenen Wochen gefallen daran gefunden, mich mit Dingen zu beschäftigen, die mir früher mal viel Spaß gemacht haben. Leider stoße ich dabei immer mal wieder auf Dinge, die ich mir nicht mehr so leicht selbst erklären kann. Entweder bin ich wirklich so blöd oder es ist erschreckend simpel.

Diesmal ist es der Binomialkoeffizient. Ich muss jetzt auch gar nicht tief graben. Ich scheitere schon ganz am Anfang:

Ich verstehe diesen Ausdruck im Zähler nicht: (n-k+1) Ich sehe irgendwie nicht, weshalb es so ausgedrückt wird, v.a. weil es am Anfang mit n; n-1; n-2 usw. beginnt.

Gruß,

Corvales

17.05.2014, 00:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an, du sprichst von der Darstellung

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} = \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!} \end{eqnarray*}$ ?

Nun das ganze ist so konstruiert, dass in Zähler wie Nenner jeweils genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Faktoren stehen, im Zähler beginnend mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und dann von einem Faktor zum nächsten immer um Eins fallend. Also:

1.Faktor: $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$
2.Faktor: $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$
3.Faktor: $\begin{eqnarray*} n-2 \end{eqnarray*}$
...

Da müsste dir auffallen, dass die Summe aus dem Faktor sowie der Nummer des Faktors immer gleich $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} 1+n = n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2+n-1 = n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3+n-2 = n+1 \end{eqnarray*}$
...

So bleibt da auch bis zum Ende:

...
(k-1).Faktor: $\begin{eqnarray*} n-k+2 \end{eqnarray*}$
k.Faktor: $\begin{eqnarray*} n-k+1 \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist es auch in der Form $\begin{eqnarray*} n-(k-1) \end{eqnarray*}$ deutlicher, was da passiert ist.

17.05.2014, 12:09

Corvales

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, HAL, dass du dich meiner annimmst. Was du schreibst, kann ich so wie es da steht, verstehen.

Ich befürchte allerdings, dass mein "Problem" weitaus banalerer Natur ist. Wobei ich es jetzt glaube, wohlbemerkt glaube, verstanden zu haben, worum es bei (n-k+1) geht.

Das hat etwas mit der Reihenfolge, oder? Zu jedem n-Element gehört noch die Anzahl der Möglichkeiten der Anordnung, was dann eben z.B. durch (n-k+1) ausgedrückt wird, wobei (n-k+1) quasi zu n gehört. Zu n-1 gehört (n-k+2). Habe ich es verstanden oder liege ich total daneben?

Gruß,

Corvales

17.05.2014, 12:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Corvales
Zu jedem n-Element gehört noch die Anzahl der Möglichkeiten der Anordnung, was dann eben z.B. durch (n-k+1) ausgedrückt wird, wobei (n-k+1) quasi zu n gehört. Zu n-1 gehört (n-k+2).

Nein, eigentlich nicht - ich weiß jetzt nicht, was für einen Zusammenhang zwischen den Faktoren du da konstruieren willst. verwirrt

Geht es dir jetzt grundsätzlich darum, was dieser Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ inhaltlich beschreibt?

17.05.2014, 13:07

Corvales

Auf diesen Beitrag antworten »

hm... ich denke, es geht mir eher darum, wie daraus die Formel ensteht, die du auch aufgeschrieben hast. Ich starre darauf und sehe den Zusammenhang nicht.

17.05.2014, 13:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ beschreibt ja die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elementen OHNE Zurücklegen (d.h. jedes Element kann nur maximal einmal gewählt werden), und auch OHNE Berücksichtigung der Reihenfolge der Auswahl (sogenannte Kombinationen ohne Wiederholung) .

Überlegen wir uns das ganze zunächst MIT Berücksichtigung der Reihenfolge der Auswahl (sogenannte Variationen ohne Wiederholung):

Da hast du für das erste Element $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten der Wahl, für das zweite Element noch $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten der Wahl (das eine ist ja weg), für das dritte Element noch $\begin{eqnarray*} n-2 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten der Wahl, usw.

Das ergibt insgesamt das Produkt

$\begin{eqnarray*} n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Spielt hingegen die Auswahlreihenfolge keine Rolle, dann sind jeweils genau $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ dieser Möglichkeiten in dem Sinne als gleich anzusehen - Beispiel:

Sind k=3 Zahlen aus {1,2,...,9} auszuwählen, dann sind z.B. die $\begin{eqnarray*} 3! = 6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

2,7,8
2,8,7
7,2,8
7,8,2
8,2,7
8,7,2

als gleich anzusehen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt - es ist in jedem Fall die Auswahl der Menge {2,7,8}. Dementsprechend muss die Anzahl (*) durch jene Anzahl $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ der Permutationen der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ausgewählten Elemente dividiert werden.

18.05.2014, 07:59

Corvales

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir für die viele Mühe, die du dir gemacht hast! Das war alles nicht mein Verständnisproblem. Aber ich habe es jetzt! Und es war dann tatsächlich ähnlich ähnlich banal wie ich befürchtet hatte. Beinahe schon peinlich... Ich will gar nicht mehr darüber nachdenken und nur noch ganz schnell vergessen.

Ergebenst,

Corvales

18.05.2014, 08:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Corvales
Ich danke dir für die viele Mühe, die du dir gemacht hast! Das war alles nicht mein Verständnisproblem.

Das ist ziemlich ärgerlich. Allerdings muss ich die Schuld dafür voll dir zuschieben, denn du hast dich überhaupt nicht klar ausgedrückt, wo der Schuh drückt. Dann anzukommen mit "das weiß ich ja alles", und auch noch zu verschweigen, was es denn nun war, ist wirklich das allerletzte. Von mir brauchst du keine Hilfe mehr zu erwarten. Finger2

18.05.2014, 19:30

Corvales

Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir wirklich leid, Hal! Ich muss gestehen, dass mich deine Reaktion schon überrascht. Ich habe an dieser Stelle nicht erwartet, geschweige denn gewollt, dass du dich ärgerst. Es lag mir extrem fern, dich verärgern zu wollen. Ich wollte mich nur für deine Hilfe bedanken bzw. dass du es versucht hast.

Dass du der Meinung bist, ich habe mich nicht klar genug ausgedrückt, liegt, vermute ich, daran dass mein Problem für dich unfassbar simpel ist. Und da mir das im Vorfeld schon fast klar war, ist es mir von vorneherein schwer gefallen meine Frage überhaupt zu stellen.

Wie du wahrscheinlich weißt, gibt es etwas, was sich Schachblindheit nennt. Ich erlebe immer mal wieder in meinem Leben Situationen, in denen ich das Offensichtliche schlicht nicht wahrnehme und wenn doch, es dann einfach nicht verstehe.

Wenn ich jetzt darüber nachdenke, hast du natürlich das Recht, dich darüber zu ärgern, dass ich dir mein Problem dann nicht erklärt habe, als ich es wenigstens selbst erkannt hatte.

Es fällt mir momentan alles ein bisschen schwer. Mir ist vor einer ganzen Weile die Erkenntnis gekommen, dass ich eine grundlegende berufliche Veränderung brauche. Das Problem ist nur: Ich bin 32 Jahre, ich bin seit 13 Jahren aus der Schule und zu allem Überfluss, um es endlich ad absurdum zu führen, habe ich heute meinen Meisterbrief überreicht bekommen. Es wäre wohl reichlich sinnlos gewesen die Meisterschule abzubrechen, nachdem ich sie schon angefangen hatte. Man kann aber vermutlich sein Leben wesentlich sinnvoller verbringen als ich.

Es liegt an dieser Stelle der Schluss nahe, dass meine derzeitige Zukunftplanung etwas mit Mathematik zu hat. Und das aus dem Grund, weil es mir früher...damals so unglaublich leicht gefallen ist und dass obwohl ich so unwahrscheinlich faul war, dass ich heute kaum selbst noch glauben kann. Ich bin damals im Abitur in die mündliche Prüfung gegangen, weil es mich geärgert hat, keine 1 zu bekommen nur weil ich nie Hausaufgaben hatte.

Und heute, da ich mich dazu entschlossen habe, meinem Leben, nach vielen falschen Entscheidungen, noch mal eine neue Richtung zu geben. In die Richtung zu gehen, die ich vermutlich gar nicht hätte verlassen sollen, sitze ich mit meinen 32 Jahren hier mit einem Stapel Büchern von der 8. bis zur 13. Klassen und muss zu meinem Entsetzen feststellen, dass es wirklich schwer ist für mich. Dass es mir bei weitem nicht einmal annähernd so leicht fällt wie früher. Dass ich Probleme bei Dingen habe, die ich besser nicht haben sollte, bei dem was ich vorhabe. In seiner Konsequenz führt dies dazu, dass ich an mir selbst zweifele, an meinem Intellekt und an dem was ich vorhabe. Was dann auch wieder einen Rattenschwanz an Zukunftängsten nach sich zieht.

Ich erzähle dir dies alles, Hal, um dir klar zu machen, dass mein Schweigen über die Lösung meines Problems überhaupt gar nichts mit Missachtung deiner Person oder deinem Hilfeversuch zu tun hat. Sondern einzig und allein nur damit, dass es mir peinlich ist.

Es ist mir peinlich in meinem Alter mit derlei "Problemen" an Leute heranzutreten, von denen wahrscheinlich ein Großteil Mathematik studiert haben und es noch tun, v.a. wenn ich im Vorfeld schon ahne, dass meine Frage lächerlich ist. Sie musste es sein! Weil ich anderthalb Tage lang das Netz durchforstet hatte, ohne auch nur einen Hinweis auf mein Verständnisproblem zu finden. Von daher wusste ich schon, dass es nur wieder etwas damit zu tun hat, dass ich das Offensichtliche nicht sehe. Und ja, es hat auch etwas mit Stolz zu tun. Es ist mir extrem schwer gefallen überhaupt zu fragen. Ich habe es nur getan, weil es mich wirklich wahnsinnig gemacht hat, es nicht zu verstehen.

Natürlich ist mein digitaler Scham im Grunde fehl am Platz. Was bin ich denn schon? Ein Nickname mit Avatar in einem Forum. Es sollte mich nicht wirklich kümmern, oder? Von von daher....

Als ich sagte, ich verstehe nicht, weshalb (n-k+1) da steht, meinte ich das wörtlich. Was hat das da verloren? Warum steht das so da?

Und die Antwort auf meine Frage, zumindestens habe ich mich jetzt darauf festgelegt, dass dies die Antwort ist. Vielleicht irre ich mich ja immer noch. Ich will einfach nur nicht mehr darüber nachdenken, weil es meinem Selbstbewusstsein zu schaden beginnt.

Es steht da, weil der Gesamtausdruck eine Definition ist. Die muss eindeutig und widerspruchsfrei sein. Und wohl auch ziemlich allgemein gehalten. Das ist der Punkt an diesen Ausdruck.

In der Definition kann nicht stehen, welchen Wert der k-Fakor hat. Wäre es z.B. 4 würde der gesamte letzte Ausdruck in der ursprünglichen Formel eigentlich lauten: (n-3)/4

Das kann man aber so nicht allgemeingültig definieren. Also muss man den letzten, den k-ten Faktor so definieren, dass es egal ist, welchen Wert er hat. Und das macht man eben mit (n-k+1)/k.

DAS war mein sogenanntes Problem! Verstehst du jetzt wie unglaublich lächerlich es im Grunde ist? Und warum ich eigentlich nicht einmal mehr darüber reden wollte?

Wie gesagt, Hal: Es tut mir leid. Ich wollte dich nicht ärgern. Und ich wäre dir wirklich sehr dankbar, wenn du dich in Zukunft vielleicht doch eventuell überwinden könntest, mir zu helfen, wenn ich denn mal ein echtes Problem habe.

Corvales

18.05.2014, 20:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser lange Roman macht mich jetzt etwas sprachlos. Ich gebe zu, ich habe etwas überreagiert, aber manchmal bringen einzelne Tropfen das (von anderen fleißig gefüllte) Faß zum Überlaufen. Es ist einfach so, dass ich mir angewöhnen muss, auf verwaschene Fragen am besten gar nicht mehr zu antworten statt zu spekulieren, was denn nun gemeint sein könnte - offenbar bin ich nicht gut im Spekulieren.

Also schwamm drüber, ich nehme meinen letzten Beitrag inhaltlich zurück.

Neue Frage »

Antworten »

Binomialkoeffizient

Verwandte Themen