Auflösen nach b

17.05.2014, 11:05

rolf89

Auflösen nach b

Meine Frage:
ich habe hier einen kleinen Term und muss den nach b auslösen =

19 = e^2b + e^3b

Meine Ideen:
ich dachte ich mach einfach den LN über die funktion aber das geht natürlich nicht..

ln(12) = 2b + 3b

wie also komm ich an das b ran ??

17.05.2014, 11:13

Iorek

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Du kannst den Logarithmus nicht einfach auseinanderziehen, wenn du eine Summe darin stehen hast: $\begin{eqnarray*} \ln(x+y)\neq\ln(x)+\ln(y) \end{eqnarray*}$ .

Du könntest es hier theoretisch mit einer Substitution versuchen, wenn du dir die Gleichung mit Hilfe der Potenzgesetze als $\begin{eqnarray*} 19=\left(e^b\right)^2+\left(e^b\right)^3 \end{eqnarray*}$ umformst. Allerdings wirst du auch für die dann entstehende Gleichung ein Näherungsverfahren verwenden müssen. Hast du die Aufgabenstellung wirklich korrekt wiedergegeben?

17.05.2014, 11:14

Mulder

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RE: Auflösen nach b
Das algebraisch nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ aufzulösen ist nicht möglich.

Nach vorhergehender Substitution $\begin{eqnarray*} e^b= x \end{eqnarray*}$ erhält man die Gleichung dritten Grades

$\begin{eqnarray*} x^3+x^2-19=0 \end{eqnarray*}$

und kann ggf. auf Näherungsverfahren zur Lösung zurückgreifen und erhält dann eine angenäherte Lösung für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nach der Rücksubstitution.

Oder du greifst auf die Cardanischen Formeln zurück, wenn du einen exakten (wenn auch ungemütlichen) Ausdruck haben willst.

Edit: Deiner, Iorek.

17.05.2014, 11:15

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} 19=e^{2b}+e^{3b} \end{eqnarray*}$

Den Logarithmus kannst du so nicht anwenden. Es müsste danach so lauten:

$\begin{eqnarray*} ln(19)=ln(e^{2b}+e^{3b}) \end{eqnarray*}$

Womit du nur einen Schritt zurück machst.

Du könntest an eine Substitution denken, aber selbst dann kommst du um ein Näherungsverfahren nicht drum rum.

Edit: Bin auch weg.

17.05.2014, 11:20

Nobundo

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Zitat:

Original von Iorek
Hast du die Aufgabenstellung wirklich korrekt wiedergegeben?

Ich glaube die 19 ist so wie er es in seiner Idee eingetippt hat eigentlich die ganze Zeit eine 12 gewesen, dann geht auch alles wunderbar auf.

17.05.2014, 14:57

rolf89

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RE: Auflösen nach b
Danke Mulder das klingt vielversprechend,
meinst du das Newtonsche Näherungsverfahren ? Das muss ich mir ersmal anschaun..... kannst du vielleicht kurz anreissen wie man da vorgeht?

17.05.2014, 15:01

Gast11022013

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Hier habe ich einmal das Newtonverfahren etwas ausführlicher erklärt.

Exponentialfunktion Schnittpunkt errechnen

17.05.2014, 15:13

rolf89

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Hi Gmasterflash,

also das Newtonverfahren wie du es beschreibst ist verständlich. Nur kann ich es nicht so ganz auf meinen Fall anwenden, ich suche ja keine Nullstelle , sondern will den Term nach B auflösen, an welchen Wert nähert sich dann b an ?

17.05.2014, 15:15

Gast11022013

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Wenn du die Gleichung gleich Null setzt, dann ist es so als würdest du die Nullstellen einer Funktion mit der Funktionsgleichung

$\begin{eqnarray*} f(b)=e^{3b}+e^{2b}-19 \end{eqnarray*}$

ermitteln. Oder eben 12, auch wenn es ebenso aufs Newtonverfahren hinauslaufen sollte.

17.05.2014, 15:20

Nobundo

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Zitat:

Oder eben 12, auch wenn es ebenso aufs Newtonverfahren hinauslaufen sollte.

Ich hoffe nicht das da jemand auf die Idee kommt Newtonverfahren anzuwenden wenn da eine 12 statt der 19 steht...

17.05.2014, 15:22

Gast11022013

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Doch ich, weil ich in dem Fall die "schöne" Lösung nicht sehen würde. Grafisch kommt auch nichts schönes raus.

17.05.2014, 15:32

Nobundo

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versteh ich nicht, was heißt "die schöne" Lösung? Im Falle das da 12 steht ist doch alles klar oder bin ich jetzt doof?

17.05.2014, 15:34

Gast11022013

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Wenn da eine 2 stehen würde, dann könnte ich verstehen, dass man auf Newton verzichtet, aber bei 12?
Was für eine Lösung meinst du denn? Könntest du mir eine PN schreiben?

Ich glaube man kommt um Newton nicht drum herum.

Edit:

Nobundo hat mich davon überzeugt, dass man die Lösung im Fall von 12 tatsächlich sehen könnte.
Ich hätte sie wohl nicht gesehen.

17.05.2014, 22:26

rolf89

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also ich hab mal gerechnet:

f(b) = e^3b + e^2b -19

f'(b) = 3e^3b + 2e^2b

setze ich ein in

X - f(x) / f'(x)

ich habe es mir in Excel eingetragen , weil ich unsicher war über den Startpunkt, aber egal was ich für einen X wert eintrage es naeher sich immer an 0,864275733 an , wobei f(x) relativ schnell 0 wird.

Stimmt das so , wär sehr nett, wenn das mal jemand nachvollziehen könnte... vielen dank

17.05.2014, 22:36

Gast11022013

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Ich habe es jetzt nicht selber nachgerechnet (grafisch mit Geogebra überprüft), aber dein Ergebnis sollte passen.

Um einen geeigneten Startwert zu finden kannst du eine Wertetabelle anlegen und gucken wo ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Zwischen diesen Werten liegt dann eine Nullstelle.

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