Divergenz Vektorfeld in Kugelkoordinaten

17.05.2014, 11:36

Alexandra Ardanex

Divergenz Vektorfeld in Kugelkoordinaten

Meine Frage:
Hallo, das Rechnen mit Kugelkoordinaten hab ich mir angeeignet, aber wie zeige ich folgenden Sachverhalt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{div} \vec{F} = r^{-2} \partial_r (r^2 \vec{F}_r)+(r \sin (\Theta)^{-1} (\partial_{\Theta}(\sin \Theta \vec{F}_{\Theta})+\partial_{\phi} \vec{F}_{\phi}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Divergenz ist ja:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F^i = \operatorname{div}\,\vec{F} \end{eqnarray*}$

Lax gesagt die partiellen Ableitung addiert.

In drei Dimensionen ausgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{div}\,\vec{F} = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_1}F^1 + \frac{\partial}{\partial x_2}F^2 + \frac{\partial}{\partial x_3}F^3 \end{eqnarray*}$

Soweit ist eigentlich alles klar. Danach finde ich jedoch keinen Ansatz wie ich anfangen soll? Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen? Das wäre gut. Danke schon mal.

LG Alexandra

18.05.2014, 10:24

zyko

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RE: Divergenz Vektorfeld in Kugelkoordinaten
Zunächst solltest du dich auf eine einheitliche Schreibweise festlegen:
Bei den Kugelkoordinaten benutzt du $\begin{eqnarray*} r, \theta, \phi \end{eqnarray*}$ als Indizes unten, um die Komponenten zu bezeichnen; andererseits schreibst du 1, 2 und 3 als Hochzahlen. Damit verwirrst du vermutlich nicht nur dich sondern auch den Leser.
$\begin{eqnarray*} \vec F= \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \end{pmatrix}= F_1 \cdot \vec e_1 + F_2 \cdot \vec e_2 + F_3 \cdot \vec e_3= F_r \cdot \vec e_r + F_{\theta} \cdot \vec e_{\theta} + F_{\phi} \cdot \vec e_{\phi} \end{eqnarray*}$ .
Du kannst jetzt die Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten umschreiben in die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystem und anschließend die Divergenz gemäß Vorschrift ausführen oder
$\begin{eqnarray*} div \vec F = \nabla \vec F = \sum_{i=1}^n \vec e_{x_i} \frac{\partial}{dx_i} \circ \vec F \end{eqnarray*}$
also das Innenprodukt (Skalarprodukt) zwischen Nablaoperator und Vektor F.
Benutzt man für den Vektor F die Summe mit den kartesischen Koordinaten, so ergibt die Ableitung der Einheitsvektoren ==0; dies gilt nicht bei den Kugelkoordinaten, deswegen sind nicht nur die Vektorkomponenten abzuleiten sondern gemäß Produktregel auch die Einheitsvektoren:
z.B.
$\begin{eqnarray*} (F_{\phi}\vec e_{\phi})_{,x}=(F_{\phi}\vec e_{\phi})_{,r}\cdot r_{,x}+ (F_{\phi}\vec e_{\phi})_{,\theta}\cdot \theta_{,x} + (F_{\phi}\vec e_{\phi})_{,\phi}\cdot \phi_{,x} \end{eqnarray*}$
hierin bedeuten Kommata in den Indizes, dass nach dem folgenden Term abgeleitet wird.
Beachte:
$\begin{eqnarray*} (F_{\phi}\vec e_{\phi})_{,r}= F_{\phi,r}\vec e_{\phi}+ F_{\phi}\vec e_{\phi,r} \end{eqnarray*}$

Die entstehenden Einheitsvektoren müssen noch mit den Einheitsvektoren des Nablaoperators veknüpft werden.

18.05.2014, 12:33

Alexandra Ardanex

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RE: Divergenz Vektorfeld in Kugelkoordinaten

Zitat:

Original von zyko
Du kannst jetzt die Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten umschreiben in die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystem und anschließend die Divergenz gemäß Vorschrift ausführen oder
$\begin{eqnarray*} div \vec F = \nabla \vec F = \sum_{i=1}^n \vec e_{x_i} \frac{\partial}{dx_i} \circ \vec F \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{div} \vec F = \nabla \vec F =(F_r \cdot \vec e_r)\frac{\partial}{dr} + (F_{\theta} \cdot \vec e_{\theta})\frac{\partial}{d\theta} + (F_{\phi} \cdot \vec e_{\phi})\frac{\partial}{d\phi} \end{eqnarray*}$
So. Klar. Das Innenprodukt (Skalarprodukt) zwischen Nablaoperator und Vektor F.

Zitat:

Original von zyko
Benutzt man für den Vektor F die Summe mit den kartesischen Koordinaten, so ergibt die Ableitung der Einheitsvektoren ==0; dies gilt nicht bei den Kugelkoordinaten, deswegen sind nicht nur die Vektorkomponenten abzuleiten sondern gemäß Produktregel auch die Einheitsvektoren

Ableitung der Einheitsvektoren Null, ja okay sehe ich. Bei den Kugelkoordinaten nicht? Hm. Sehe ich jetzt nicht. Aber wo sind den Produkte wo man per Produktregel ableiten soll hier?

Zitat:

Original von zyko
z.B.
$\begin{eqnarray*} (F_{\phi}\vec e_{\phi})_{,x}=(F_{\phi}\vec e_{\phi})_{,r}\cdot r_{,x}+ (F_{\phi}\vec e_{\phi})_{,\theta}\cdot \theta_{,x} + (F_{\phi}\vec e_{\phi})_{,\phi}\cdot \phi_{,x} \end{eqnarray*}$
hierin bedeuten Kommata in den Indizes, dass nach dem folgenden Term abgeleitet wird.
Beachte:
$\begin{eqnarray*} (F_{\phi}\vec e_{\phi})_{,r}= F_{\phi,r}\vec e_{\phi}+ F_{\phi}\vec e_{\phi,r} \end{eqnarray*}$
Die entstehenden Einheitsvektoren müssen noch mit den Einheitsvektoren des Nablaoperators veknüpft werden.

Das ist mir noch nicht klar. Vor allem wieso dann ein r auftaucht. Da sehe ich noch nicht den Sinn dahinter, bzw. habe nicht das Verständnis dafür.

Danke Zyko

LG Alexandra

19.05.2014, 09:41

Ehos

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Kugelkoordinaten lauten bekanntlich

$\begin{eqnarray*} x=R\cdot \cos(\phi)\sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=R\cdot \sin(\phi)\sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=R\cdot \cos(\theta) \end{eqnarray*}$

Umstellen nach $\begin{eqnarray*} r, \phi, \theta \end{eqnarray*}$ liefert

$\begin{eqnarray*} R=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi=\arctan\left ( \tfrac{y}{x}\right ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \theta=\arccos \left ( \tfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right ) \end{eqnarray*}$

Mit diesen 3 Funktionen musst du mittels der Kettenregel die 3 Summanden in $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial F_1}{\partial x}+\tfrac{\partial F_2}{\partial y}+\tfrac{\partial F_3}{\partial z} \end{eqnarray*}$ berechnen und addieren, also

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial F_1}{\partial x}=\tfrac{\partial F_1}{\partial R}\tfrac{\partial R}{\partial x}+\tfrac{\partial F_1}{\partial \phi}\tfrac{\partial \phi}{\partial x}+\tfrac{\partial F_1}{\partial \theta}\tfrac{\partial \theta}{\partial x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial F_2}{\partial y}=\tfrac{\partial F_2}{\partial R}\tfrac{\partial R}{\partial y}+\tfrac{\partial F_2}{\partial \phi}\tfrac{\partial \phi}{\partial y}+\tfrac{\partial F_2}{\partial \theta}\tfrac{\partial \theta}{\partial y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial F_3}{\partial z}=\tfrac{\partial F_3}{\partial R}\tfrac{\partial R}{\partial z}+\tfrac{\partial F_3}{\partial \phi}\tfrac{\partial \phi}{\partial z}+\tfrac{\partial F_3}{\partial \theta}\tfrac{\partial \theta}{\partial z} \end{eqnarray*}$

Die Berechnung dieser Ausdrücke ist etwas langwiering. Am Ende tauschen darin noch die "alten" Koordinaten x,y,z auf, die du aber mit den o.g. Kugelkoordinaten ersetzen kannst.

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