Paare Kombinatorik

17.05.2014, 11:55	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Paare Kombinatorik An einem Tanzwettbewerb nehmen genau 5 Paare teil. Die Paare werden durch Auslosung neu zusammengewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) alle 5 Paare wieder zusammengeführt werden, b) genau 1 Paar, genau 2 Paare, genau 3 Paare, genau 4 Paare zusammengeführt werden, c) kein Paar zusammengeführt wird ? Ideen: Aufgabe a) Gegeben: Es nehmen 5 Paare teil d.h es gibt 5 Frauen und 5 Männer. Gesucht: X: Paare $\begin{eqnarray} P(X=5) \end{eqnarray}$ Lösung: $\begin{eqnarray} P(X=5)=\frac{1}{5!} \end{eqnarray}$ Aufgabe b) Gegeben: Es nehmen 5 Paare teil d.h es gibt 5 Frauen und 5 Männer. Gesucht: X: Paare $\begin{eqnarray} P(X=1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=4) \end{eqnarray}$ Lösung: $\begin{eqnarray} P(X=1)=\frac{\binom{5}{1} \cdot 1! }{5!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=2)=\frac{\binom{5}{2} \cdot 2! }{5!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=3)=\frac{\binom{5}{3} \cdot 3! }{5!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=4)=\frac{\binom{5}{4} \cdot 4! }{5!} \end{eqnarray}$ Vielen Dank
18.05.2014, 02:08	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wahrscheinlichkeit für alle fünf richtig zusammengewürfelten Paare stimmt. Deiner Lösung nach soll gelten $\begin{eqnarray} P(X=4)=\frac{\binom{5}{4} \cdot 4! }{5!}=1? \end{eqnarray}$ Richtig wäre vielmehr $\begin{eqnarray} P(X=4)=0 \end{eqnarray}$ Es gibt keine genau vier richtigen Paare, weil der fünfte automatisch auch seinen richtigen Partner bekommt. Es ist ja sonst keiner mehr übrig! Für genau 3 richtige gilt: $\begin{eqnarray} P(X=3)=\frac{\binom{5}{3} }{5!} \end{eqnarray}$ Wenn ich drei aus fünf auswähle, die richtig sein sollen, so gibt es dafür nur eine Möglichkeit. Die zwei "falschen" anderen sind dadurch automatisch auch bestimmt. Für genau 2 richtige gilt, was du geschrieben hast: $\begin{eqnarray} P(X=2)=\frac{\binom{5}{2} \cdot 2! }{5!} \end{eqnarray}$ Für genau 1 richtiges $\begin{eqnarray} P(X=1)=\frac{\binom{5}{1} \cdot 9 }{5!} \end{eqnarray}$ Es gibt nämlich 9 Möglichkeiten bei einem richtigen Paar, die vier übrigen falsch zu verteilen.
18.05.2014, 12:37	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung für genau 4 und genau 2 kann ich nachvollziehen, aber leider nicht bei genau 3 und genau 1.
18.05.2014, 16:02	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zahl der Möglichkeiten aus 5 die 3 richtigen Paare zu wählen ist ja $\begin{eqnarray} \binom{5}{3} \end{eqnarray}$ Nehmen wir an, den Frauen 1,2,3,4,5 werden die Männer 1,2,3,4,5 in zufälliger Reihenfolge zugelost. Für 3 richtige könnte das Ergebnis so aussehen: a) 1,2,3,5,4 Wenn die 3 richtigen Paare 1,2 und 3 sein sollen, so ist Möglichkeit a) die einzige. Würde ich die letzten beiden Männer 5 und 4 vertauschen, hätte ich keine "genau 3 richtigen" mehr. Sollen die 3 richtigen z.B. 2,4 und 5 sein wäre dies die einzige Möglichkeit: b) 3,2,1,4,5 Die Männer 2,4 und 5 stehen an richtiger Stelle, für 3 und 1 bliebe nur eine Möglichkeit. Es gibt für jede Wahl der 3 richtigen auch nur eine Zulosungsmöglichkeit, deren Anzahl demnach auch $\begin{eqnarray} \binom{5}{3} \end{eqnarray}$ ist. Für "genau 1 richtiges Paar" gibt es zunächst 5 Möglichkeiten, welches das richtige sein soll. Die übrigen 4 müssen falsch sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, 4 Frauen jeweils einen falschen Partner zuzulosen? Sei Paar 5 richtig, dann gibt es für die Männer 1,2,3 und 4 folgende Reihenfolgen: 2,1,4,3 2,3,4,1 2,4,1,3 3,1,4,2 3,4,1,2 3,4,2,1 4,1,2,3 4,3,1,2 4,3,2,1 Damit gibt es pro richtigem Paar also 9 Zulosungsmöglichkeiten.
18.05.2014, 16:20	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey. Super Erklärung. Alles verstanden. Super, vielen lieben Dank.
18.05.2014, 22:35	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zahl der Möglichkeiten, 4 Frauen den falschen Partner zuzuordnen, entspricht übrigens der Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von 4 Elementen. Dafür gibt es eine Formel, die hilfreich wäre, wenn man nicht durch Aufschreiben aller Möglichkeiten aufs richtige Ergebnis kommen will.
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18.05.2014, 22:37	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Das habe mir schon gedacht. Angenommen man hat nicht fünf Paare, sondern 100 Paare. Die einzelnen Sachen kann ich einsetzen, aber nachvollziehen, kann ich diese Formel nicht.
19.05.2014, 01:55	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel für die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n Elementen lautet: $\begin{eqnarray} d_n=n! \cdot \sum_{k=2}^n~\frac{(-1)^{k}}{k!} \end{eqnarray}$ So z.B. für n=4 $\begin{eqnarray} d_4=\frac{4!}{2!}-\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{4!}=12-4+1=9 \end{eqnarray}$ Für große n (>5) gilt außerdem $\begin{eqnarray} \frac{ d_{n} }{n!}\approx e^{-1}\approx 0,368 \end{eqnarray}$ Eine Herleitung findest du z.B. hier: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=33606#post33606 Wenn du nun 100 Paare hast und wissen willst, wie wahrscheinlich es ist, dass genau 1 Paar richtig zugelost wird: $\begin{eqnarray} P(X=1)=\frac{\binom{100}{1} \cdot d_{99} }{100!}=\frac{d_{99} }{99!}\approx 0,368 \end{eqnarray}$ Für "gar kein Paar" käme praktisch dasselbe heraus. Allgemein für genau n richtige Paare: $\begin{eqnarray} P(X=n)=\frac{\binom{100}{n} \cdot d_{100-n} }{100!}= \frac{1}{n!}\cdot\frac{ d_{100-n} }{(100-n)!}\approx\frac{1}{n!} e^{-1} \end{eqnarray}$ X ist also poissonverteilt mit dem Erwartungswert 1. Dieser hängt interessanterweise (fast) nicht von der Anzahl der Paare ab. Es ist (fast) gleichwahrscheinlich, bei 100 Paaren "ein richtiges" zuzulosen wie bei 50.

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