Banachscher Fixpunktsatz: Newton-Verfahren

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mathNewton Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz: Newton-Verfahren
Meine Frage:
Hallo,

ich sitze an der folgenden Aufgabe, wo ich mich noch etwas schwer tue.

Zunächst einmal die Aufgabe:

Die Berechnung des Kehrwerts einer reellen Zahl d > 0 kann mit dem Newton-Verfahren so realisiert werden, dass zur Berechnung nur Additionen und Multiplikationen verwendet werden.

a) Formulieren Sie die Berechnung von als NullstellenProblem f(x)=0 so, dass das zugehörige Newton-Verfahren ohne Division auskommt.

b) Geben Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes ein Intervall an, für das das Newton-Verfahren konvergiert. Geben Sie auch einen Startwert an, für den das Verfahren nicht gegen die gesuchte Lösung konvergiert.

c) Zeigen Sie, dass das Newton-Verfahren für alle Startwerte gegen die gesuchte Lösung konvergiert.

Meine Ideen:
Zu a) habe ich folgendes gemacht.

Man kann das Problem erst einmal als ein Nullstellenproblem darstellen.
. Nun in die Rekursionsformel von Newton-Verfahren eingesetzt.



Da man das Newton-Verfahren ohne Division formulieren sollte, waren diese Umformungen nötig. Ich denke, dass das soweit richtig ist. Aber es schadet nicht, wenn sich das ein geschultes Auge anschaut.

Zu b): Fixpunkt bedeutet ja f(x) = x. D.h. aus dem Nullstellenproblem kann man ein Fixpunktproblem machen. Dazu definiere man eine Funktion . D.h., falls g ein Fixpunkt p hat, folgt, dass f(p) = 0.
Da man aber das ganze mit dem Banachschen Fixpunktsatz machen muss, muss es sich bei g(x) doch um eine Kontraktion handeln. Denn falls g eine Kontraktion ist, dann gibt es genau einen Fixpunkt.

Im Moment tue ich mich mit diesem Teil noch etwas schwer.
Denn falls wir so ein Fixpunkt haben, dann haben wir auch eine Nullstelle für die Nullstellenfunktion.
Wie aber finden man so ein Intervall und wie zeigt man, dass das Newton-Verfahren für dieses Intervall konvergiert?
Natürlich muss noch ein Startwert angeben, für den das NV nicht konvergiert.

Zu c) habe ich leider noch nichts.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Gruß
mathNewton
mathNewton Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachscher Fixpunktsatz: Newton-Verfahren
Bei a) habe ich einen kleinen Fehler gemacht. Jetzt sollte es stimmen.

Ändru Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

zu a)

Ja, deine Iterationsfunktion ist richtig. (Es gibt im allgemeinen sehr viele verschiedene Moeglichkeiten sich solche Iterationsfunktionen zu erzeugen)

zu b) und c)

was sagt denn der Fixpunkt aus? Der Satz sagt doch nur aus, wenn die Iterationsfolge als Grenzwert Null hat, dann konvergiert dein Verfahren gegen den Fixpunkt (etwas Umgangssprachlicher Formuliert). Eigentlich ist das fuer b) und c) gleich. Was ist denn die Voraussetzung dass so ein Verfahren konvergiert? Es muss doch gelten:



(allg. muss der Spektralradius kleiner als Eins sein!)

Nun geh doch mal her und pruefe, wann die Bedingung erfuellt ist und wann nicht und schon hast du die Aufgaben geloest.

Gruesse
Ändru Auf diesen Beitrag antworten »

Ein kleiner Nachtrag, das mit der Nullfolge war etwas dumm formuliert. Du brauchst einfach eine Kontraktion der Funktion und die gibst du mit dem Spektralradius bzw. im 1D, mit der ersten Ableitung an.
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