Komplexprodukt von Gruppen, Normalteiler und ein eventueller Epimorphismus

17.05.2014, 19:06	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexprodukt von Gruppen, Normalteiler und ein eventueller Epimorphismus Moin, wieder einmal war es schwer, einen passenden Titel zu finden. Ich stecke immer noch im Bereich Gruppentheorie und versuche mir die Zusammenhänge klar zu machen. Die aktuelle Hausaufgabe scheint dafür wie gemacht, ich weiß nur nicht, wie ich weiter komme. Zuerst einmal die Aufgabe: Sei U eine Untergruppe und N ein Normalteiler der Gruppe G; ferner sei eine Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha : U \rightarrow (UN)/N \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} u \rightarrow uN \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ . Zeige: (1) $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist ein Epimorphismus mit $\begin{eqnarray} Kern(\alpha) = U \cap N \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} U/(U \cap N) \cong (UN)/N \end{eqnarray}$ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Meine Überlegungen: Zuerst einmal habe ich eine kleine Sammlung gemacht anhand meines Skripts, was was bedeutet. Vielleicht hilft das ja hier bei der Beantwortung der Frage auch weiter: Untergruppe ist Normalteiler, falls $\begin{eqnarray} U^g = U \ \ \ \forall g \in G \end{eqnarray}$ Epimorphismus ist ein surjektiver Homomorphismus $\begin{eqnarray} M^x := \{m^x \| m \in M\} = x^{-1}Mx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} UN := \{un \| u \in U, n \in N\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} uN := \{un \| n \in N\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G/N := \{gN\|g\in G \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Kern(\alpha) := \{g\|g\in G, \alpha(g)=1 \} \end{eqnarray}$ Danach habe ich mir überlegt, dass ich für die Surjektivität ja zeigen muss, dass der ganze Wertebereich auch wirklich getroffen wird. Dazu habe ich mir folgendes überlegt: Sei $\begin{eqnarray} y \in (UN)/N \end{eqnarray}$ beliebig z.z.: $\begin{eqnarray} \exists x \in U \ \ mit \ \ xN = y \end{eqnarray}$ y ist von der Form $\begin{eqnarray} unn_1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u \in U, n,n_1 \in N \end{eqnarray}$ Diese Variablen sind natürlich nicht irgendwie fest aber y setzt sich meiner Meinung nach aus diesen drei Komponenten immer zusammen. Da aber N ein Normalteiler und somit auch eine Untergruppe und insbesondere eine Gruppe ist, ist das Produkt zweier einzelner Elemente aus N auch sicher in N. Es gilt also $\begin{eqnarray} nn_1 \in N \ \ =: k \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt x = u wählt (geht, da u aus U kommt) und sich die Abbildung auf xN anschaut, dann ist xk sicher darin enthalten, da k aus N ist und das ist uk und das ist un*n1 und das ist gerade y. Also ist der Homomorphismus surjektiv und damit ein Epimorphismus. Wie ich die Aussage mit dem Kern zeigen soll weiß ich nicht so genau. Meine erste Idee war, einfach ein Element aus N geschnitten U herauszunehmen und mir die Abbildung alpha anzuschauen und zu hoffen, dass ich irgendwie zeigen kann, dass auf das Einselement abgebildet wird. Das ist mir nicht gelungen. Danach habe ich mir überlegt, ob man vielleicht den Schnitt selbst untersuchen muss. Vielleicht sieht man dann ja, dass da nur Elemente drin sind, die auf 1 abgebildet werden. Vielleicht ja sogar nur die 1. (ich glaube es nicht). Teil (2) schaue ich mir dann später an. Ich würde mich freuen, wenn ihr mir erst einmal hier helfen könntet . Es hilft einfach so unglaublich viel, hier mit euch die Aufgaben zu diskutieren. Meist findet sich ja einer, der seine Zeit für mich opfert. Gruß Martin

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