Kartesisches Produkt und Kompaktheit

17.05.2014, 19:22

Omikron92

Kartesisches Produkt und Kompaktheit

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Frage, und zwar habe ich $\begin{eqnarray*} K \subset \mathbb R^n \wedge L \subset \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ und will hier $\begin{eqnarray*} K \times L \subset \mathbb R^{n+m} \end{eqnarray*}$ betrachten.

Meine Ideen:
Ich kann mir vorstellen, dass das Produkt n+m Einträge hat, aber ich weis nicht genau, wie ich das aufschreiben kann. Ich dachte in etwa so:
$\begin{eqnarray*} K \times L := \left\{ (a_1,...,a_n,b_1,...,b_m)|a_i \in K \wedge b_j \in L\right\},i=1,...,n\wedge j=1,...,m \end{eqnarray*}$ .

18.05.2014, 01:11

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} K \subset \mathbb R^n \wedge L \subset \mathbb R^m \end{eqnarray*}$

Es ist doch $\begin{eqnarray*} a \in K \times L \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} a=(\vec x, \vec y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec x \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec y \in L \end{eqnarray*}$ smile

Zitat:

Ich dachte in etwa so: $\begin{eqnarray*} K \times L := \left\{ (a_1,...,a_n,b_1,...,b_m)|a_i \in K \wedge b_j \in L\right\},i=1,...,n\wedge j=1,...,m \end{eqnarray*}$ .

Wie sehen denn Elemente $\begin{eqnarray*} a_i \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_i \in L \end{eqnarray*}$ aus?

18.05.2014, 13:46

Omikron92

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Danke das stimmt, in meiner Schreibweise, habe ich durch z.B. $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ n-dimensionale Zeilenvektoren hingeschrieben, was ja erst mal wenig Sinn macht. Hammer

Dann macht es eher schon so Sinn, $\begin{eqnarray*} K \times L:= \left\{(x,y)| x \in K \wedge y \in L \right\} \end{eqnarray*}$ .
Ich überlege jetzt, ich hatte ja im Titel des Threads von Kompaktheit gesprochen, und zwar will ich jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} K\times L \subset \mathbb R^{n+m} \text{kompakt} \Leftrightarrow K \wedge L \text{kompakt} \end{eqnarray*}$ .
Ich hatte hier überlegt über eine Überdeckung aus offenen Mengen zu argumentieren. Ich mache gerade die Hinrichtung, dann habe ich ja, dass $\begin{eqnarray*} K \times L \end{eqnarray*}$ kompakt ist. Daher finde ich ja hiervon eine Überdeckung mit einer endlichen Teilüberdeckung von $\begin{eqnarray*} K \times L \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt zeigen könnte, dass dies eine Überdeckung von K bzw. L ist, dann wären diese doch auch kompakt, weil die Teilüberdeckung ja schon endlich war oder? Das Problem, welches ich hier halt sehe, ist dass eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} K \times L \end{eqnarray*}$ ja aus Teilmengen des kartesischen Produktes besteht, dann kann ich ja nicht einfach sagen, dass die Überdeckung auch K überdeckt, weil es sind ja die Elemente aus der Überdeckung von der Form $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ , während die Elemente in K nur die Form (x) haben. Da müsste man dann eventuell die Abdeckung von K bzw. L etwas anders definieren unter Verwendung von der von $\begin{eqnarray*} K \times L \end{eqnarray*}$ , oder?

18.05.2014, 13:50

bijektion

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Zitat:

Daher finde ich ja hiervon eine Überdeckung mit einer endlichen Teilüberdeckung von $\begin{eqnarray*} K \times L \end{eqnarray*}$ .

Dann hat jede Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung.
Sei $\begin{eqnarray*} K\times L \end{eqnarray*}$ kompakt. Angenommen $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ wäre nicht kompakt, dann gäbe es eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Kann das sein?

18.05.2014, 14:33

Omikron92

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Angenommen $\begin{eqnarray*} K \times L \end{eqnarray*}$ sei kompakt, ferner sei K nicht kompakt und L kompakt, dann gilt:
Dann könnte man zu einer beliebigen Indexmenge I $\begin{eqnarray*} U_i \subset K \end{eqnarray*}$ offen finden mit $\begin{eqnarray*} \cup_{i\in I} U_i=K \end{eqnarray*}$ finden so, dass die Überdeckung keine endliche Teilüberdeckung enthält. Sei ferner $\begin{eqnarray*} I' \end{eqnarray*}$ eine weitere Indexmenge so, dass wir $\begin{eqnarray*} V_{i'}\subset L \end{eqnarray*}$ offen finden, deren Vereinigungen Überdeckungen von L sind, die eine endliche Teilüberdeckung von L enthalten. Sei $\begin{eqnarray*} J \subset I' \end{eqnarray*}$ endlich, dann gilt $\begin{eqnarray*} \cup_{i' \in J} V_{i'}=L \end{eqnarray*}$ .
Können wir mit diesen Überdeckungen eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} K \times L \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} \cup _{i\in I} U_i \times \cup_{i' \in J} V_{i'}:=\left\{ (u,v): u \in \cup _{i\in I} U_i \wedge v \in \cup_{i' \in J} V_{i'}\right\}:=* \end{eqnarray*}$

definieren? Wenn, dann würde ich sagen, dass die Vereinigung der $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ unendlich viele Mengen enthielt, und dann deswegen Probleme auftreten, weil wenn wir jetzt Tupel der Form (x,y) überdecken wollen können wir das nur mit *, welches aber unendlich viele Elemente hat, weil die Vereinigung der $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ keine endliche Teilüberdeckung enthielt. Das wäre dann ein Widerspruch zur Kompaktheit von $\begin{eqnarray*} K \times L \end{eqnarray*}$ .
Sollte das kompletter Blödsinn sein, tut es mit leid, aber ich habe das vorher noch nie gemacht. smile

18.05.2014, 15:24

Che Netzer

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Übrigens würde ich empfehlen, auf das Zeichen $\begin{eqnarray*} \land \end{eqnarray*}$ zu verzichten. Da entsteht schnell Unsinn wie dieser hier:

Zitat:

Original von Omikron92
$\begin{eqnarray*} K \wedge L \text{kompakt} \end{eqnarray*}$

Wenn man das Symbol schon unbedingt benutzen muss, dann doch wenigstens richtig. Eleganter wäre es natürlich, einfach " $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ sind kompakt" zu schreiben.

Und ohne mich weiter einmischen zu wollen: Für die erste Implikation muss man gar nicht mit Überdeckungen hantieren, wenn man eine gewisse Aussage über stetige Abbildungen kennt. Die lässt sich hier auf die natürlichen Projektionen $\begin{eqnarray*} \pi_K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi_L \end{eqnarray*}$ anwenden:
$\begin{eqnarray*} \begin{xy}\xymatrix{&K\times L\ar[rd]^{\pi_L}\ar[ld]_{\pi_K}&\\K&&L}\end{xy} \end{eqnarray*}$

18.05.2014, 19:28

Omikron92

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Ja, das mit dem und ist wirklich blöd, ich habe aber leider keine Ahnung, was natürliche Projektionen sind, ich nehme durch das Bild mal an, dass das eine Abb. der Form $\begin{eqnarray*} f: K \times L \rightarrow K, (x,y) \mapsto x \end{eqnarray*}$ wobei x die erste Komponente der Tupel in $\begin{eqnarray*} K \times L \end{eqnarray*}$ analog könnte man dann eine Abbildung für L definieren. Der Satz, den du meint ist, dass bei stetigen Funktionen mit kompakten Definitionsbereich auch das Bild wieder kompakt ist.
Dann müsste ich doch aber hier die Stetigkeit noch zeigen, oder?

19.05.2014, 14:11

Omikron92

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Kann mir denn niemand helfen? Macht das, was ich da gemacht habe überhaupt Sinn?

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