maximalpunkte = minimalpunkte beweis

17.05.2014, 22:30

Mathelover

maximalpunkte = minimalpunkte beweis

Gegeben seien eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und eine Zielfunktion $\begin{eqnarray*} f : M \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Die globalen Maximalpunkte von f auf M sind genau die globalen Minimalpunkte von -f auf M.

Hat jemand eine Idee, wie geht man da am Besten an diesen Beweis ran.

Also Voraussetzung ist ja:
Es sei $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f : M \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Behauptung:
$\begin{eqnarray*} max_{ x\in M} f = - min_{ x\in M}- f \end{eqnarray*}$

Ob die Behauptung mathematisch richtig formuliert ist, weiß ich leider nicht.
Ich hoffe ihr könnt mir ein paar Tipps geben.

18.05.2014, 01:09

bijektion

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Ist noch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ kompakt gegeben? Wäre dann vielleicht schöner.
Was ist eine notwendige Bedingung für einen Maximalpunkt? smile

18.05.2014, 12:01

Mathelover

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Danke für deine Antwort bijektion.

Im Skript wurde leider nicht die Definition eines Maximalpunktes erwähnt.
Es wird nur die Definition eines lokalen und globalen Minimalpunktes erwähnt.
Das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \bar{x} \in M \end{eqnarray*}$ heißt lokaler Minimalpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , falls eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ existiert mit:

$\begin{eqnarray*} \forall x\in U \cap M : f(x) \geq f(\bar{x})<br /> \end{eqnarray*}$

18.05.2014, 12:17

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \bar{x} \in M \end{eqnarray*}$ heißt lokaler Minimalpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , falls eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ existiert mit: $\begin{eqnarray*} \forall x\in U \cap M : f(x) \geq f(\bar{x})<br /> \end{eqnarray*}$

Gut, so gehts ja auch smile

Dann betrachte mal einen Minimalpunkt von $\begin{eqnarray*} -f \end{eqnarray*}$ , das ist ein $\begin{eqnarray*} x_0\in M \end{eqnarray*}$ der eine solche Umgebung besitzt.
Wie wird wohl die Definition eines Maximalpunktes aussehen?

18.05.2014, 13:06

Mathelover

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$\begin{eqnarray*} \forall x\in U \cap M : f(x) \leq f(x_{0}) \end{eqnarray*}$

So?

18.05.2014, 13:29

bijektion

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jetzt musst du ja eigentlich nichtmehr viel machen, denn für einen Minimalpunkt von $\begin{eqnarray*} -f \end{eqnarray*}$ weißt du ja, das der Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ besitzt, sodass $\begin{eqnarray*} \forall x\in U \cap M : -f(x) \geq -f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ .

18.05.2014, 13:33

Mathelover

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Also die Ungleichung mit -1 multiplizieren?

Ja aber wo war jetzt der Beweis?
Ich würde gerne lernen, den ganzen Beweis formal richtig aufzuschreiben. Ich hab da echt noch große Lücken... unglücklich

18.05.2014, 13:39

bijektion

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Jap

Wie würdest du es denn aufschreiben?

18.05.2014, 13:57

Mathelover

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Zitat:

Original von bijektion
Jap Wink

Wie würdest du es denn aufschreiben?

$\begin{eqnarray*} \text{Sei } M\subseteq \mathbb{R}^{n} \text{ und } f:M\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \text{globale Maximalpunkte von f auf M sind genau die globalen Minimalpunkte von -f auf M.} \end{eqnarray*}$

Beweis: $\begin{eqnarray*} \text{Für globale Minimalpunkte von f auf M gilt : } \exists \bar{x} \in M \text{ }\exists U _{\bar{x}} \forall x\in U _{\bar{x}} \cap M: f(x) \geq f(\bar{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Für globale Minimalpunkte von -f auf M gilt demnach: } \exists \bar{x} \in M \text{ }\exists U _{\bar{x}} \forall x\in U _{\bar{x}} \cap M: -f(x) \geq -f(\bar{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -f(x) \geq -f(\bar{x}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x) \leq f(\bar{x}) = \text{globale Maximalpunkte von f auf M} \end{eqnarray*}$

wie schreib ich das mathematisch formal richtig auf?

18.05.2014, 14:12

bijektion

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Ich würde es so machen: Sei $\begin{eqnarray*} \text{Sei } M\subseteq \mathbb{R}^{n} \text{ und } f:M\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0\in M \end{eqnarray*}$ ein Minimalpunkt von $\begin{eqnarray*} -f \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ derart, dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in U_{\delta}(x_0)\cap M \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} -f(x_0)\leq -f(x) \end{eqnarray*}$ gilt.
Es folgt $\begin{eqnarray*} f(x_0) \geq f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in U_{\delta}(x_0)\cap M \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein Maximalpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Das Problem ist das ihr nicht definiert habt, was ein Maximalpunkt ist. Aber eigentlich sollte das klar sein.

18.05.2014, 14:18

Mathelover

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Okay, ich danke dir vielmals bijektion.
Freude

18.05.2014, 14:43

bijektion

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Kein Problem smile

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