Tangenten-Asymptoten-Dreieck

18.05.2014, 12:18

Mathelehrer

Tangenten-Asymptoten-Dreieck

Meine Frage:
Hallo,

ich benötige bei der folgenden Aufgabe einige Erklärungen. Im Vorraus schonmal vielen Dank.

Gegeben sei die Hyperbel $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} }{a^{2} } - \frac{y^{2} }{b^{2} } =1 \end{eqnarray*}$ Ferner sei a=b=1
Wie lauten die Asymptotengleichungen?

Gegeben sei der Punkt $\begin{eqnarray*} P = (x_{1} ,y_{1} ) \end{eqnarray*}$
Die Tangente an die Hyperbel im Punkt P und die Asymptoten begrenzen ein Dreieck MAB (M= (0,0); A = Schnittpunkt Tang. Asym. im ersten Quadranten und B = Schnittpunkt im vierten Quadranten)
Zeigen Sie, dass P die Stracke AB halbiert.

Meine Ideen:
zu den Asymptoten.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(x)=-x \end{eqnarray*}$ ist offenbar falsch.
Kann mir jemand daher bitte den Unterschied zu:
$\begin{eqnarray*} y=\pm x \end{eqnarray*}$ erklären?

Zur halbierung der Strecke AB
Die Tangentengleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} y= (\frac{xx_{1}-1}{y_{1} } ) \end{eqnarray*}$
Die x Koordinaten der Schnittpunkte mit den Asymptoten sind:
$\begin{eqnarray*} X_{A} = (\frac{1}{x_{1}-y_{1} })<br /> X_{B} = (\frac{1}{x_{1}+y_{1} }) \end{eqnarray*}$
Wenn P die Strecke AB halbiert, muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \frac{X_{A}+X_{B} }{2} = x_{1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich einsetze erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{x_{1}}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} = x_{1} \end{eqnarray*}$ mit: $\begin{eqnarray*} x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich eine Wahre Aussage.

Warum ist dies ein Spezialfall und nicht allgemein gültig???
Wenn ich dies mit a, b so mache, steht am Ende:
$\begin{eqnarray*} x_{1}\frac{x_{1}^{2} }{a^{2} } - \frac{y_{1}^{2} }{b^{2} } =1x_{1} \end{eqnarray*}$
Weil die Hyperbelgleichung für den Punkt P aber erfüllt ist, gilt doch wieder $\begin{eqnarray*} x_{1}=x_{1} \end{eqnarray*}$
Wo ist hier bitte mein Fehler ich finde ihn einfach nicht.

18.05.2014, 14:55

riwe

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RE: Tangenten-Asymptoten-Dreieck
die Asymptotengleichung:

$\begin{eqnarray*} y=\pm\frac{b}{a}x \end{eqnarray*}$

damit bekommst du für die x-Koordinate der Schnittpunkte:

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{a^2\cdot b}{b\cdot x_S\pm a\cdot y_S} \end{eqnarray*}$

woraus die Behauptung (zumindest für die x-Koordinate) folgt Augenzwinkern

18.05.2014, 16:51

Mathelehrer

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RE: Tangenten-Asymptoten-Dreieck
ok, aber wo ist jetzt der unterschied von

$\begin{eqnarray*} y=\pm\frac{b}{a}x \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} f(x)=\pm\frac{b}{a}x \end{eqnarray*}$

Und warum ist die Vorgehensweise für die halbe Strecke nur für a=b=1 gültig???

18.05.2014, 16:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelehrer
Und warum ist die Vorgehensweise für die halbe Strecke nur für a=b=1 gültig???

Weil du dich verrechnet hast: Wenn du die Gesamtrechnung konsequent mit allgemeinen a,b durchziehst, ist sie gültig.

19.05.2014, 08:44

Mathelehrer

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das waren zwei Prüfungsfragen!

Die Asymptoten müssen mit y= und nicht mit f(x)= beginnen.
Nur verstehe ich nicht den Unterschied. Den würde ich gerne Wissen.

Und die Vorgehensweise für die Halbe Strecke durfte ich garnicht erst anfangen, weil sie ein Spezialfall ist.
aber auch hier verstehe ich nicht, warum sie ein Spezialfall ist.

Diese beiden Dinge hätte ich gerne erklärt, damit ich sie in der nächsten Prüfung nicht wieder falsch mache.

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