Norm DIffoperator

18.05.2014, 12:42

Rotlings

Norm DIffoperator

[attach]34306[/attach]

Beschränktheit und Linearität habe ich bereits gezeigt, doch wie kommt man auf die Operatornorm?

18.05.2014, 14:21

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator
Wie hast du denn die Beschränktheit gezeigt? Dabei hast du doch sicher schon eine Abschätzung für die Norm erhalten.

18.05.2014, 14:26

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Che Netzer
Wie hast du denn die Beschränktheit gezeigt? Dabei hast du doch sicher schon eine Abschätzung für die Norm erhalten.

Beschränktheit folgt doch sofort aus das sup f'(x) gegeben ist?

18.05.2014, 14:30

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator
Und was ist nun $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? Und was meinst du mit "ist gegeben"?

Was verstehst du denn unter Beschränktheit von linearen Operatoren zwischen normierten Räumen?

18.05.2014, 14:39

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Che Netzer
Und was ist nun $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ ? Und was meinst du mit "ist gegeben"?

Was verstehst du denn unter Beschränktheit von linearen Operatoren zwischen normierten Räumen?

laut Aufgabenstellung gibt es meine größtmögliche Ableitung

Es gibt ein so dass für alle x gilt
$\begin{eqnarray*} |(Ax)|<c|(x)| \end{eqnarray*}$

18.05.2014, 14:44

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Rotlings
laut Aufgabenstellung gibt es meine größtmögliche Ableitung

"Deine größtmögliche Ableitung"? Was soll das sein?

Zitat:

Es gibt ein so dass für alle x gilt
$\begin{eqnarray*} |(Ax)|<c|(x)| \end{eqnarray*}$

Auch das ergibt keinen Sinn.
Vermutlich meinst du:
Der Operator $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, falls es ein $\begin{eqnarray*} c\geq0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \lVert Df\rVert_\infty\leq c\lVert f\rVert_{C^1[0,1]} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f\in C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ gilt.

Schreib am besten mal sauber auf, wie du die Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ gezeigt hast.

18.05.2014, 15:10

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Rotlings
laut Aufgabenstellung gibt es meine größtmögliche Ableitung

"Deine größtmögliche Ableitung"? Was soll das sein?

Zitat:

Es gibt ein so dass für alle x gilt
$\begin{eqnarray*} |(Ax)|<c|(x)| \end{eqnarray*}$

wie ich sehe, habe ich vieles bei mir falsch gemacht!

$\begin{eqnarray*} |Af(x)|=[l]|f(x)-f(x_0)/(x-x_0) | \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | f_\infty | \end{eqnarray*}$

18.05.2014, 15:15

Che Netzer

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Was bitte soll denn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sein? Und wofür steht $\begin{eqnarray*} \lvert f_\infty\rvert \end{eqnarray*}$ ?

18.05.2014, 15:19

Rotlings

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bevor wir weitermachen, existiert das Supremum der Ableitung laut aufgabenstellung, richtig?
sonst könnte man sofort ein Gegenbeispiel finden, da der diffoperator im allg. nicht beschränkt ist.

18.05.2014, 15:31

Che Netzer

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Das Supremum welcher Ableitung? Für jedes $\begin{eqnarray*} f\in C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ stetig (per Definition) und damit beschränkt, da $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ kompakt ist.

Das hat aber noch nichts mit der Beschränktheit irgendwelcher Operatoren zu tun. Insbesondere hängt die Beschränktheit bzw. Stetigkeit von Differentialoperatoren stark von den gewählten Normen/Topologien ab.

18.05.2014, 15:46

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Che Netzer

Vermutlich meinst du:
Der Operator $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, falls es ein $\begin{eqnarray*} c\geq0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \lVert Df\rVert_\infty\leq c\lVert f\rVert_{C^1[0,1]} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f\in C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ gilt.

.

ich hab ein Verständnis Problem mit deiner Definition laut Skript Seite 18 steht auf der Ungleichung beides mal x

drive.google.com/file/d/0B1xTedytYNdxa09FY0thZEc0R1U/edit

18.05.2014, 15:59

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator
wir wissen wegen Kompaktheit und Stetigkeit dass $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty \end{eqnarray*}$ existiert und kann das weiter abschätzen?

18.05.2014, 16:28

Rotlings

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wegen Kompaktheit und Stetigkeit nimmt f auch Minimum ein.

wähle c sodass
c>f'max/fmin
damit haben wir das c ?

18.05.2014, 16:29

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Rotlings
ich hab ein Verständnis Problem mit deiner Definition laut Skript Seite 18 steht auf der Ungleichung beides mal x

Und glaubst du, dass es einen Unterschied macht, wie ich die Variablen nenne?
Ich könnte auch fordern, dass $\begin{eqnarray*} \lVert D \end{eqnarray*}$ Tanzen

$\begin{eqnarray*} \rVert_\infty\leq c\lVert \end{eqnarray*}$ Tanzen

$\begin{eqnarray*} \rVert_{C^1[0,1]} \end{eqnarray*}$ für alle Tanzen

in $\begin{eqnarray*} C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ gelte.

Zitat:

Original von Rotlings
wir wissen wegen Kompaktheit und Stetigkeit dass $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty \end{eqnarray*}$ existiert und kann das weiter abschätzen?

Und was sollen die einzelnen Striche bedeuten? Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} \lVert Df\rVert_\infty \end{eqnarray*}$ . Inwiefern willst du das nun weiter abschätzen (wobei es natürlich "können" statt "kann" heißen müsste)? Insbesondere: Wodurch und zu welchem Zweck möchtest du diese Norm abschätzen?

18.05.2014, 16:34

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator
[quote]Original von Che Netzer
Insbesondere: Wodurch und zu welchem Zweck möchtest du diese Norm abschätzen?[/quote

Man soll doch die Operator Norm finden?

18.05.2014, 16:52

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator
Ja, die Operatornorm (das ist ein Wort). Und wie ist die definiert?

18.05.2014, 17:03

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator
Der Operator $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, falls es ein $\begin{eqnarray*} c\geq0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \lVert Df\rVert_\infty\leq c\lVert f\rVert_{C^1[0,1]} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f\in C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ gilt.

Wir wissen es existiert $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty \end{eqnarray*}$ und es gibt ein x0 so dass f(x0) minimal ist. Man wählt
c sodass c> $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty /f(x0)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | D f | \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty<cf(x0)<cf(x) \end{eqnarray*}$

18.05.2014, 17:30

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Rotlings
Wir wissen es existiert $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty \end{eqnarray*}$

Nochmal: Was sollen diese einfachen Striche anstatt doppelter?
Und ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nun fest gewählt?

Zitat:

und es gibt ein x0 so dass f(x0) minimal ist.

Ja, für festes $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . (das nützt hier übrigens rein gar nichts)

Zitat:

Man wählt
c sodass c> $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty /f(x0)<br /> \end{eqnarray*}$

Okay... Dieses $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ hängt übrigens immer noch von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ab. Und was ist, wenn $\begin{eqnarray*} f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ ist?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} | D f | \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty<cf(x0)<cf(x) \end{eqnarray*}$

Ist das nun eine Foglerung? Eine Behauptung? Was soll das überhaupt ganz links sein?

Achte deutlich mehr auf die Ausdrucks- und Schreibweise. Es gibt durchaus Unterschiede zwischen einfachen und zweifachen Normstrichen; genauso zwischen $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ . Formuliere außerdem ganze Sätze, so dass erkennbar wird, woher z.B. die letztzitierte Ungleichung kommen soll.

18.05.2014, 17:35

Rotlings

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Danke, ich werde deine Hinweise berücksichtigen.
Wenn meine Idee mit Minimum von f nicht klappt. Wie soll ich dann so ein c finden?

18.05.2014, 17:39

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Rotlings
Wir wissen es existiert $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty \end{eqnarray*}$

Nochmal: Was sollen diese einfachen Striche anstatt doppelter?
Und ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nun fest gewählt?
ich dachte immer doppelte=einfache
wieso sollte f fest sein?

Zitat:

und es gibt ein x0 so dass f(x0) minimal ist.

Ja, für festes $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . (das nützt hier übrigens rein gar nichts)
was genau meinst du mit f ist fest?

Zitat:

Man wählt
c sodass c> $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty /f(x0)<br /> \end{eqnarray*}$

Okay... Dieses $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ hängt übrigens immer noch von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ab. Und was ist, wenn $\begin{eqnarray*} f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ ist?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} | D f | \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} | D f |_\infty<cf(x0)<cf(x) \end{eqnarray*}$

Ist das nun eine Foglerung? E
Folgerung

18.05.2014, 17:51

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator
Mit $\begin{eqnarray*} \lvert\cdot\rvert \end{eqnarray*}$ bezeichnet man den Betrag oder auch die Euklidische Norm. Für allgemeine Normen benutzt man meist $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert \end{eqnarray*}$ . Gelegentlich arbeitet man aber mit einfachen, zweifachen und sogar dreifachen Normstrichen.

Überhaupt gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass man in irgendeiner fest definierten Notation plötzlich irgendwelche Zeichen weglassen könnte.
Vielleicht dachtest du auch daran, dass der Betrag vom Betrag wieder der ("normale") Betrag ist.

Und in deinen Behauptungen taucht ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf, welches vorher nicht definiert wurde. Daher die Frage: Betrachtest du die ganze Zeit über ein einzelnes, festes $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

18.05.2014, 17:57

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Che Netzer

Und in deinen Behauptungen taucht ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf, welches vorher nicht definiert wurde. Daher die Frage: Betrachtest du die ganze Zeit über ein einzelnes, festes $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

Haben wir es in der Aufgabenstellung mit Funkionenfolgen zu tun?

Wenn ich von f rede meine ich eine Funktion, die auf dem geschlossen Intervall 0-1 definiert ist und sowohl die Ableitung als auch die Funktion selbst, stetig sind.

18.05.2014, 18:02

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator
Wir haben es nicht nur mit einer Funktionenfolge zu tun, sondern mit einem ganzen Raum von Funktionen.
Und du sollst zeigen, dass eine bestimmte Ungleichung für alle Funktionen aus diesem Raum gilt.

18.05.2014, 18:08

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Che Netzer
Wir haben es nicht nur mit einer Funktionenfolge zu tun, sondern mit einem ganzen Raum von Funktionen.
Und du sollst zeigen, dass eine bestimmte Ungleichung für alle Funktionen aus diesem Raum gilt.

Alle Funktion aus diesen Raum haben die Eigenschaften:
1)auf abgeschlossen Intervall 0-1 definiert.
2)und sowohl die Ableitung als auch die Funktion selbst, stetig sind.

Der Operator $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, falls es ein $\begin{eqnarray*} c\geq0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \lVert Df\rVert_\infty\leq c\lVert f\rVert_{C^1[0,1]} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f\in C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ gilt.

Man soll so ein c finden für alle Funktionen dieses Raumes?

Wie geht man da vor?

18.05.2014, 18:10

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator
Schreib dir mal die Definition von $\begin{eqnarray*} \lVert f\rVert_{C^1[0,1]} \end{eqnarray*}$ auf.

18.05.2014, 18:18

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Che Netzer
Schreib dir mal die Definition von $\begin{eqnarray*} \lVert f\rVert_{C^1[0,1]} \end{eqnarray*}$ auf.

f ist einmal stetig differenzierbar, mehr nicht?

18.05.2014, 18:24

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator
Das ist keine Definition für den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lVert f\rVert_{C^1[0,1]} \end{eqnarray*}$ .

18.05.2014, 18:36

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator
$\begin{eqnarray*} \lVert f\rVert_{C^1[0,1]} = sup sup \lVert f^{k}(x)\rVert \end{eqnarray*}$
k<_1 x element von D

ich hoffe jetzt stimmts

18.05.2014, 20:39

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator
Das ist noch nicht einmal eine sinnvolle Definition. Arbeite etwas sorgfältiger! Die gefragte Definition ist sogar in der Aufgabenstellung zu finden.

18.05.2014, 21:46

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Che Netzer
Das ist noch nicht einmal eine sinnvolle Definition. Arbeite etwas sorgfältiger! Die gefragte Definition ist sogar in der Aufgabenstellung zu finden.

klar

Der Operator $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, falls es ein $\begin{eqnarray*} c\geq0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \lVert Df\rVert_\infty\leq c\lVert f\rVert_{C^1[0,1]} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f\in C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ gilt

aber dann gilt diese Ungleichung es für alle c größer gleich 1 ?

18.05.2014, 21:51

Che Netzer

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RE: Norm DIffoperator

Zitat:

Original von Rotlings
aber dann gilt diese Ungleichung es für alle c größer gleich 1 ?

Ja, wenn du das "es" weglässt – achte auch darauf, sinnvolle Sätze zu schreiben. Das müsstest du natürlich noch begründen.

18.05.2014, 22:04

Rotlings

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RE: Norm DIffoperator

Zitat: