Grenzwertberechnung

18.05.2014, 12:55

HypnosMOP

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwertberechnung

Meine Frage:
Hallo zusammen,

hoffe ihr könnt mir wieder mal weiterhelfen.
Soll folgende Grenzwerte bestimmen.

$\begin{eqnarray*} a:\lim_{x \to \infty} (e^{3x}-4x)^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b:\lim_{x \to \infty} x*\ln x(1+\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c:\lim_{x \to \infty} (x-\sqrt{x^{2}+1}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Ansatz bei a. eventuell umformen, aber wie? und bei b. mit der eulerschen zahl arbeiten, aber wie :-(

Edit Equester: Latexklammern gesetzt

18.05.2014, 13:00

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (e^{3x}-4x)^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Dann mal das zuerst. Du könntest doch in den Klammern $\begin{eqnarray*} e^{3x} \end{eqnarray*}$ faktorisieren.

18.05.2014, 13:01

aakka

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du einfache Latex-Formeln setzen willst dann innerhalb von [latex] und [/latex] bzw nur [l]/[/l].

18.05.2014, 13:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HypnosMOP
$\begin{eqnarray*} b:\lim_{x \to \infty} x*\ln x(1+\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

Wirklich dieser Grenzwert? Nicht doch eher $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x*\ln \left(1+\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ ?

18.05.2014, 13:37

HypnosMOP

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry da ist wohl ein x zuviel reingerutscht, dein Term ist der gesuchte Grenzwertterm

Wenn ich bei a faktorisieren bin ich bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} ((e^x)^3-4x)^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

hätte gedacht das ich erstmal die $\begin{eqnarray*} ()^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ wegbekommen muss?

18.05.2014, 13:39

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

So meinte ich das auch nicht. $\begin{eqnarray*} (e^{3x}-4x)^{\frac{1}{x}} = (e^{3x})^{\frac{1}{x}} \cdot (1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}})^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ .

Anzeige

18.05.2014, 14:04

HypnosMOP

Auf diesen Beitrag antworten »

komme mit der Umformung irgendwie gar nicht weiter, habe ein Problem mit dem $\begin{eqnarray*} ()^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

18.05.2014, 14:08

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn dein Problem damit?

18.05.2014, 14:23

HypnosMOP

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal die Interpretation.

Wenn $\begin{eqnarray*} ()^\frac{1}{x}\Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ geht, und damit ist der Inhalt in der klammer gemeint . also $\begin{eqnarray*} e^{3x}-4x \end{eqnarray*}$

Aber das $\begin{eqnarray*} e^{3x}-4x \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ geht. komme ich doch auf die Form $\begin{eqnarray*} \infty^0 \end{eqnarray*}$ ?

18.05.2014, 14:47

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Fang doch mit dem Schritt an den ich schon vorgerechnet habe, dann sieht man das Ergebnis schon, denn: $\begin{eqnarray*} (e^{3x}-4x)^{\frac{1}{x}} = (e^{3x})^{\frac{1}{x}} \cdot (1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}})^{\frac{1}{x}}=e^3 \cdot (1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}})^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ , und wegen $\begin{eqnarray*} 1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}} \to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}})^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ doch leicht zu berechnen.

18.05.2014, 15:17

95er^^

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion
Fang doch mit dem Schritt an den ich schon vorgerechnet habe, dann sieht man das Ergebnis schon, denn: $\begin{eqnarray*} (e^{3x}-4x)^{\frac{1}{x}} = (e^{3x})^{\frac{1}{x}} \cdot (1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}})^{\frac{1}{x}}=e^3 \cdot (1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}})^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ , und wegen $\begin{eqnarray*} 1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}} \to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}})^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ doch leicht zu berechnen.

wieso darf man den limes rein ziehen?
lim von (1+1/x)^x ist doch e
und lim von (1+1/x) =1
wenn man den lim rein ziehen würde dann hat
lim von (1+1/x)^x=1

19.05.2014, 12:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "limes reinziehen"? Dein Beispiel ist schön und gut, aber völlig verfehlt in Bezug auf die vorliegende Situation.

bijektion hat lediglich zunächst die Potenzregel

$\begin{eqnarray*} (a\cdot b)^c = a^c\cdot b^c \end{eqnarray*}$

angewandt, und zwar für $\begin{eqnarray*} a=e^{3x}, b=1-\frac{4x}{e^{3x}} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Weiterhin folgt $\begin{eqnarray*} \left(e^{3x}\right)^{\frac{1}{x}} = e^{3x\cdot \frac{1}{x}} = e^3 \end{eqnarray*}$ aus einer weiteren Potenzregel.

Was dann also letztendlich gemacht wurde, ist schlicht das Herausziehen des konstanten Faktors $\begin{eqnarray*} e^3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left( e^{3x}-4x \right)^{\frac{1}{x}} = e^3\cdot \lim_{x \to \infty} \left( 1-\frac{4x}{e^{3x}} \right)^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ ,

und das ist zweifelsohne erlaubt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2014, 13:04

95er^^

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left( e^{3x}-4x \right)^{\frac{1}{x}} = e^3\cdot \lim_{x \to \infty} \left( 1-\frac{4x}{e^{3x}} \right)^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ ,

und das ist zweifelsohne erlaubt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

ok das sehe ich ein, aber bj betrachtet

Zitat:

Original von bijektion
, und wegen $\begin{eqnarray*} 1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}} \to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (1-\frac{4\cdot x}{e^{3\cdot x}})^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ doch leicht zu berechnen.

wie berechnet man diesen Ausdruck?
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left( 1-\frac{4x}{e^{3x}} \right)^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

19.05.2014, 13:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Basis gegen 1 und Exponent gegen 0 - was gibts da für Fragen?

In deinem Beispiel geht es um was ganz anderes, nämlich "Basis gegen 1 und Exponent gegen unendlich" !!!

19.05.2014, 14:31

95er

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Basis gegen 1 und Exponent gegen 0 - was gibts da für Fragen?

wenn man die aufgabe mit der def des grenzwertes betrachten will sprich
für alle epsilon existiert ein x0 sodass für alle x>x0
abs((1-4x/e^x -1)<e gilt
wie findet man diese x0??

19.05.2014, 14:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 95er
wenn man die aufgabe mit der def des grenzwertes betrachten will

Das "will" höchstens jemand, der die Sache unnötig komplizieren bzw. ablenken will. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2014, 14:49

95er^^

Auf diesen Beitrag antworten »

leider ist die funktion monoton steigend -> es gibt kein globales Maximum!!

anders gefragt könnte wenn sich die mühe macht eine x0 sofinden?
tipps wie ich rangehen könnte?

Edit opi: Komplettzitat entfernt.

19.05.2014, 15:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab keine Ahnung, wovon du redest. Aber gut, da du nix besseres zu tun hast, etwas Epsilontik:

Zitat:

Sind $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ Funktionen mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} u(x)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ beschränkt, dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} u(x)^{v(x)} =1 \end{eqnarray*}$ .

Beweis mit "Epsilontik":

Sei $\begin{eqnarray*} |v(x)|\leq K \end{eqnarray*}$ . Für beliebiges $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon<1 \end{eqnarray*}$ betrachten wir $\begin{eqnarray*} \delta:= 1-(1+\varepsilon)^{-\frac{1}{K}} > 0 \end{eqnarray*}$ sowie dann $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |u(x)-1| < \delta \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq x_0 \end{eqnarray*}$ . Es ist dann einerseits

$\begin{eqnarray*} u(x)^{v(x)} \leq (1+\delta)^{|v(x)|} \leq (1+\delta)^{K} < (1-\delta)^{-K} = 1+\varepsilon \end{eqnarray*}$

und andererseits

$\begin{eqnarray*} u(x)^{v(x)} \geq (1-\delta)^{|v(x)|} \geq (1-\delta)^{K} = (1+\varepsilon)^{-1} > 1-\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

19.05.2014, 15:52

95er^^

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh es!
schade dass man so was nicht in der schule macht..

Edit opi: Komplettzitat entfernt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »