Beziehung Landau Groß-O/klein-o

18.05.2014, 13:55	Mr.X 1024	Auf diesen Beitrag antworten »
Beziehung Landau Groß-O/klein-o Wir haben in Analysis die Landau-Symbole O und o wie folgt eingeführt: $\begin{eqnarray} f(x) = \mathcal O (g(x)) \Leftrightarrow \exists C : \forall x : \vert f(x) \vert < C \vert g(x) \vert \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x) = o(g(x)) \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \end{eqnarray}$ Unter diesen Umständen haben wir das Differential so definiert: $\begin{eqnarray} f( x ) = f(x_0 ) + \dd f(x_0)(x - x_0) + o (\vert x - x_0 \vert )) \end{eqnarray}$ Oft sieht man jedoch Aussagen dieser Art: $\begin{eqnarray} f(x + \dd x ) = f(x) + \dd f(x ) (\dd x) + \mathcal O ((\dd x )^2) \end{eqnarray}$ also, dass die Abweichung zwischen Funktion und linearer Approximation von quadratischer Ordnung ist. Jetzt die Frage: In welcher Beziehung stehen die Schreibweisen zueinander und wodurch wird die zweite gerechtfertigt? Meine Ideen: Wenn die Funktion O(x²) ist, ist sie auch o(\|x\|) (Sandwichlemma). Wann ist die andere Richtung richtig?

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