Erwartungswert

18.05.2014, 15:19	Stativa	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Meine Frage: Hallo, ich beschäftige mich mit einem Beispiel zu Berechnung der Fisher Information. Eine Bernoulli-verteilte Folge ( $\begin{eqnarray} X_{1},...,X_{n} \end{eqnarray}$ ) ist gegeben mit Parameter $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ . Es wird gesagt, dass P(X=1)=p ist, P(X=0)=1-p und $\begin{eqnarray} \frac{d}{dp} log P(1)= \frac{d}{dp} log p =\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ und außerdem $\begin{eqnarray} \frac{d}{dp} log P(0)= \frac{d}{dp} log p =-(\frac{1}{1-p} ) \end{eqnarray}$ . Bis dahin verstehe ich alles. Dann wird gefolgert, dass die Fisher-Information I(p) nun folgendes sein soll: $\begin{eqnarray} E_{p} ((\frac{d}{dp}logP(X_{1}))^2) = p\cdot \frac{1}{p^2}+(1-p)\cdot \frac{1}{(1-p)^2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich frage mich, wieso bei der Fisher-Information das Argument $\begin{eqnarray} X_{1} \end{eqnarray}$ ist, das ist ja nur ein Wert und es gibt doch hier zwei mögliche Werte 0 und 1. Außerdem verstehe ich nicht, wie man von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite kommt, laut Definition des Erwartungswertes summiert man doch die x-Werte multipliziert mit der Verteilung. Für was steht dann hier $\begin{eqnarray} ((\frac{d}{dp}logP(X_{1}))^2) \end{eqnarray}$ ? Danke für jede Antwort! Viele Grüße, Stativa
18.05.2014, 15:36	Ysmulc	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert hallo, du berechnest den erwartungswert einer diskreten zufallsvariablen (schau dir mal die definition bei wikipedia an: http://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungsw...ufallsvariablen ) Dann gilt $\begin{eqnarray} E_{p}((\frac{d}{dp} log(P(X_{1})^2)=P[X_{1}=1]\cdot (\frac{d}{dp} log(P(1)) + P[X_{1}=0]\cdot (\frac{d}{dp} log(P(0)) \end{eqnarray}$ und das ist genau deine rechte Seite. $\begin{eqnarray} (\frac{d}{dp} log(P(X_{1})^2) \end{eqnarray}$ ist die fischerinformation, die zum Beispiel in der informationsungleichung von carmer-rao vorkommt. ich hoffe das hilft dir weiter. viele grüße
15.06.2014, 19:48	Stativa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, ja !

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