DGL lösen (Trennung der Veränderlichen) |
| 18.05.2014, 16:03 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| DGL lösen (Trennung der Veränderlichen) y'=(y^2 - x^2)/(2xy) Meine Frage: Muss nun alles was mit x zutun hat auf eine Seite und alles was mit y zu tun hat auf die andere Seite oder reicht es dx und dy auf eine Seite zu bringen und dann beide Seiten zu integrieren? Ich würde hier auf dy2xy=(y^2 - x^2)dx kommen. |
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| 18.05.2014, 16:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Trennung der Veränderlichen ist nichts, was man erzwingen kann: Entweder es klappt, oder es klappt nicht. Im vorliegenden Fall klappt es direkt zunächst mal nicht, erst nach einer passenden Substitution wie z.B. . |
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| 18.05.2014, 16:19 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach ja stimmt, es gibt ja spezielle DLG erster Ordnung die durch Substitution lösbar sind! Danke schön! |
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| 18.05.2014, 17:43 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hätte da doch nochmal eine Frage dazu. In meinem Buch steht wenn y`=f(x/y) gegeben sei substituiere mit u=y/x <-> y=ux (So wie du es halt genannt hattest). Meine Frage dazu: Wenn ich also einen Bruch gegeben habe in dieser Form dann wird die Lösung über diese Substitution bestimmt. Muss in der Gleichung jedoch exakt ein y/x vorhanden sein oder reicht es, wenn ich erkenne das es eine DLG 1. Ordnung in Bruchschreibweise ist, dass ich dann sofort y=ux setzen kann. Oder muss man davor geschickt umformen das exakt ein y/x vorhanden ist? Also bin noch etwas unsicher hierdrin. 
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| 18.05.2014, 17:48 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso "exakt ein" ? Es kann auch mehrfach auftreten, so wie hier: Etwas anders geschrieben lautet die DGL hier . Letztendlich gilt bei solchen oder anderen Substitutionen sowieso immer: Der Erfolg gibt einem im Nachhinein Recht bei der Wahl der Substitution, da muss man nix begründen. |
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| 18.05.2014, 18:04 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie hast du diese Substitution erkannt bei y'=(y^2 - x^2)/(2xy) ? Du hast y`=f(y/x) erkannt und deshalb die Substitution u=y/x gewählt. Ich erkenne aber kein y`=f(y/x), also wie hast du umgeformt? Brauch ich diese umformungen überhaupt? Bei mir folgt: y`=((y/x)*y-1)/2y Hier erkenn ich das diese Funktion tatsächlich y`=f(y/x) ist und nach meinem Lehrbuch wähle ich hier u=y/x <-> y=ux. Was ist aber wenn ich nicht y`=f(y/x) erkennen würde? Oder ist das einfach Training und ich seh das zu hart? In meinem Lehrbuch werden zwischen drei Substitutionen unterschieden mit y`=f(ax+by+c) y`=f(y/x) y`+g(x)*y=h(x)*y^n Die jeweiligen Substituionen stehen auch neben an. Nun wie gesagt ist das Problem, was mach ich wenn ich nicht die Art der Funktion erkennen kann oder sollte man das in der Regel sofort erkennen können ? |
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| 18.05.2014, 18:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hab ich doch grade hingeschrieben!
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| 18.05.2014, 18:15 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt erkenn ich es.^^ y`=((y/x)*y-1)/2y wäre doch auch richtig oder? Ich erkenne f(x/y)=y` Ansonsten sollte iche s verstanden haben, danke schön. |
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| 18.05.2014, 18:45 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kurz noch eine Frage: Wenn ich (ux)` berechnen soll, dann ist das nicht u oder? Sondern u+xu'. Im übrigen soll es ein Post über mir f(y/x) lauten und nicht f(x/y). |
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| 18.05.2014, 23:17 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin jetzt angekommen bei ln(-1-u^2)=ln(x)+C das nun mit e multiplizeiren umformen nach u und rücksubstituieren mit y=ux und das wäre die gesuchte Gleichung. Ist das richtig ? |
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| 19.05.2014, 14:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei stellen sich einem im Reellen die Nackenhaare aufrecht: Es ist garantiert negativ und damit außerhalb des Definitionsbereichs der reellen Logarithmusfunktion. |
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| 19.05.2014, 14:15 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da war mir wohl ein Fehler unterlaufen als ich eingetippt hatte. Danke für die Aufmerksamkeit! Es soll -ln(-1-u^2)=ln(x)+C <-> ln(-1-u^2)=-ln(x)-C heißen. e-Funktion mit der Gleichung nehmen -> -1-u^2=x^(-1)+e^-C Bei dem fettgedruckten bin ich mir unsicher. Der Rest denke ich sollte stimmen... |
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| 19.05.2014, 14:23 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja, gelesen, aber trotzdem nicht berücksichtigt: Negative Zahlen unter dem ln(...) gehören da nicht hin!!! 
Wir sind bei . Das ergibt |
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| 19.05.2014, 14:30 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, den Rest verstehe ich. Nun einfach nach u auflösen und rücksubstituieren mit y=ux. Das ist dann die Lösung der DLG. Ich denke, der Fehler weshalb ich eine falsche Gleichung habe am Ende ist, dass ich auf S (2u)/(-1-u^2) du= S (1/x)dx komme. Da ist mir wohl ein Fehler unterlaufen, danke. 
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| 19.05.2014, 19:58 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bist du sicher das folgende Gleichung richtig ist? . Ich komme andauernd nur auf |
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| 19.05.2014, 20:04 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist jetzt nicht dein Ernst, dass du nicht erkennst, dass das dasselbe ist? 
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| 19.05.2014, 20:09 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der von dir genannte Term lautet aber - (2u)/(u^2 +1)= (-2u)/(u^2 +1) Vlt. hab ich auch nur zuviel mathe gemacht heute und mein schädel machts nicht mehr mit.
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| 19.05.2014, 20:14 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Herrje, das ist ja grausam... , noch ausführlicher kann ich es nicht beschreiben. Ich empfehle dir dringend ein paar Übungen in elementaren Termumformungen, das scheint mir eher angebracht als das Lösen von Differentialgleichungen. |
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| 19.05.2014, 20:18 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast du wohl recht, ich war mir wohl zu sicher und muss da immer etwas falsch verstanden haben.
thx. Aber letztendlich habe ich ja sowieso den richtigen Term herraus. 
Naja werde es mir zu herzen nehmen, und das mir mal sehr einprägen. Edit: Ich glaube ich habe die ganze Zeit umsonst nachgerechnetw eil alles richtig war und ich nur den Betrag im LN vergessen hatte. Ich denke das wolltest du hören oder?^^ |
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