Cauchy Folge zeigen

19.05.2014, 10:25

u44tmp

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Cauchy Folge zeigen

Hi!
Ich muss zeigen, dass a(n) eine Cauchy Folge ist und soll nur die Definition einer Cauchy-Folge benutzen.

$\begin{eqnarray*} a_{n} = 1+\frac{(-1)^{n} }{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ansätze soweit:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ >0, seien m,n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit n>m
Wir suchen $\begin{eqnarray*} n_{0} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit n>m> $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_{n}-a_{m}| = |(1+\frac{(-1)^{n}}{n})-(1+\frac{(-1)^{m}}{m})| = |(\frac{(-1)^{n}}{n})-(\frac{(-1)^{m}}{m})| = |\frac{m*(-1)^{n}-n*(-1)^{m} }{n*m}| = |(-1)^{n} - (-1)^{m}| \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ja eine Abschätzung mit "kleiner-gleich" kommen. Ich weiß aber nicht so recht wie ich weiter machen soll, oder ob ich bis hierhin richtig bin.

19.05.2014, 10:30

bijektion

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Woher kommt die letzte Gleichheit?

19.05.2014, 10:38

u44tmp

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naja... kürzt sich das nicht weg? Oder mach ich gerade einen Fehler?

achso ok... das m fällt nur weg, weil es ja (-n) ist

19.05.2014, 14:48

u44tmp

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wie komme ich nun weiter? unglücklich

unglücklich

Soll nun eine Abschätzung gemacht werden? und wenn ja, wofür genau?

19.05.2014, 14:51

bijektion

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Dir ist klar, das der letzte Schritt falsch ist? Betrachte $\begin{eqnarray*} |\frac{m*(-1)^{n}-n*(-1)^{m} }{n*m}| \end{eqnarray*}$ : der Nenner ist sicher positiv und $\begin{eqnarray*} \geq m^2 \end{eqnarray*}$ , hilft das schon weiter?

19.05.2014, 15:05

HAL 9000

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Eigentlich kann man die Sache bereits ab hier $\begin{eqnarray*} \left| \frac{(-1)^{n}}{n}-\frac{(-1)^{m}}{m} \right| \end{eqnarray*}$ mit der Dreiecksungleichung abkürzen, damit entledigt man sich unmittelbar der lästigen Vorzeichenterme. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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19.05.2014, 16:27

u44tmp

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ok das heißt jetzt mittels Dreiecksungleichung:

$\begin{eqnarray*} | \frac{(-1)^{n} }{n} - \frac{(-1)^{m} }{m} |<br /> \leq | \frac{(-1)^{n} }{n} |+| \frac{(-1)^{m} }{m} | \end{eqnarray*}$

richtig? Wie verfahre ich nun weiter?

19.05.2014, 16:58

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \ldots = \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \end{eqnarray*}$

Wie ich schon sagte:

Zitat:

Original von HAL 9000
damit entledigt man sich unmittelbar der lästigen Vorzeichenterme.

19.05.2014, 17:04

u44tmp

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Das hängt doch dann damit zusammen, indem ich die Beträge einfach liquidiere, oder? Dann werden die (-1) positiv und 1 bleibt übrig, da 1 hoch etwas = 1

19.05.2014, 17:14

HAL 9000

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Ja klar. Und nun gleich weiter:

$\begin{eqnarray*} \ldots < \frac{1}{n_0} + \frac{1}{n_0} = \frac{2}{n_0} \end{eqnarray*}$ ,

gültig für alle $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n>m>n_0 \end{eqnarray*}$ .

19.05.2014, 17:30

u44tmp

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ok an dem Punkt weiß ich nicht mehr weiter... Kann ich als Abschätzung für n0 einfach "2" einsetzen und sagen, dass die Folge gegen 1 konvergiert?

19.05.2014, 18:11

HAL 9000

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Was soll denn der Unfug? unglücklich

unglücklich

Was war denn das eigentliche "Fernziel" dieser Ungleichungskette - komplett aus den Augen verloren?

19.05.2014, 18:39

u44tmp

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naja das Ziel war es ja ein n0 zu finden, so dass alle Folgeglieder m und n danach einen kleineren Abstand haben als Epsilon... Setzt man das nun < Epsilon? Ich hab keine Ahnung unglücklich

unglücklich

19.05.2014, 18:55

HAL 9000

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Genau: Nachgewiesen werden soll, dass es für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} |a_n-a_m| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n>m>n_0\qquad (*) \end{eqnarray*}$

gilt. Wir haben bisher nachgewiesen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n>m>n_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_n-a_m| < \frac{2}{n_0} \end{eqnarray*}$

ist. Also ist es hinreichend für (*) das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ so zu wählen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n_0} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

19.05.2014, 19:51

u44tmp

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achso ok also:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n_{0} } < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\epsilon} < n_{0} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

19.05.2014, 21:47

HAL 9000

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Wenn die komplette Antwort lautet: "Wählt man $\begin{eqnarray*} n_0>\frac{2}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ , dann ..."

Dann (und nur dann) ist es Ok.

19.05.2014, 21:52

u44tmp

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Ok danke

smile

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