Vorzeichenänderung von Determinanten bei Zeilenvertauschung

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Matze95 Auf diesen Beitrag antworten »
Vorzeichenänderung von Determinanten bei Zeilenvertauschung
Guten Abend Leute,

Ich habe Probleme eine von unserem Dozenten nicht näher gezeigte Rechenregel zu beweisen. Es geht dabei um eine 3x3-Matrix. Vertauscht man zwei Zeilen oder Spalte, so ändert sich ja das Vorzeichen der Determinante. Meine Frage ist nun: Warum? Auch nach längerer Recherche in diversen Skripten finde ich einfach keine/n befriedigende/n Herleitung/Beweis. Hat jemand vielleicht eine Idee? Ich wäre für jeden Ansatz dankbar.

Mfg
Matze95
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Frage kann man nur beantworten, wenn man weiß, von welcher Definition der Determinanten du ausgehst. Kennst du zum Beispiel Determinanten nur im dreidimensionalen Fall als Regel von Sarrus (Jägerzaunregel). Oder als Spatprodukt? Oder wurden Determinanten bei euch in allgemeinerer Form eingeführt?
Matze95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss ehrlich gesagt nicht genau was du meinst verwirrt
Vllt meinst du ja Folgendes: Wir berechnen die Determinanten mit Hilfe des Laplace'sche Entwicklungssatzes. Deswegen wurden sie wahrscheinlich in "allgemeinerer Form" eingeführt?!
Matze95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir Folgendes überlegt: Da es sich um eine 3x3-Matrix handelt, kann man den Beweis ja noch für alle 4 Möglichkeiten der Zeilenvertauschung und für alle 4 Möglichkeiten der Spaltenvertauschung durchführen.
Alternativ könnte ich ja folgende Rechenregel verwenden: det(A)+det(B) = det (A+B)
Wenn der einzige Unterscheid zwischen den Matrizen derjenige ist, dass 2 Zeilen vertauscht wurden, erhalte ich bei der Addition der beiden Matrizen zwei gleiche Zeilen.
Eine weitere Regel besagt ja nun, dass die Determinante in diesem Fall den Wert 0 erhält. Damit wäre die ursprüngliche Behauptung ja nun auch bewiesen.
Aber müsste ich dann nicht auch erst beweisen, dass die Determinante auch wirklich 0 ist, wenn zwei Zeilen mit gleichen Elementen vorliegen?!
Gibt es vieleicht noch eine andere Möglichkeit?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matze95
det(A)+det(B) = det (A+B)


Diese Regel gibt es nicht. Die Determinantenfunktion ist nicht linear, sie ist aber multilinear und alternierend. Vielleicht findest du in deinen Unterlagen etwas über diese Eigenschaften. Damit kannst du einen Beweis führen, ohne allzu viel in Koordinaten rechnen zu müssen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichenänderung von Determinanten bei Zeilenvertauschung
Im Folgenden sei

eine Determinante mit Zeilenvektoren in der i-ten und in der k-ten Zeile.
Es sollte bekannt sein, dass gilt: . Wegen dieser Beziehung (in Verbindung mit der nachfolgenden Additionsregel), darf man beliebige Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren, da man dadurch immer nur 0 zur Determinante addiert. Außerdem gilt die Additionsregel



Du kannst nun schreiben (Einträge in der i-ten und k-ten Zeile (i<k), Rest beliebig):



Hier wurde in der letzten Gleichung auf der rechten Seite bei der ersten Determinante in der k-ten Zeile abgezogen und bei der zweiten Determinante in derselben Zeile .

Damit folgt:

 
 
Matze95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichenänderung von Determinanten bei Zeilenvertauschung
Da habe ich wohl etwas durcheinander gebracht. Vielen Dank aber für die schnellen Antworten Freude
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