diagonalisierbare Matrix bestimmen |
| 19.05.2014, 23:36 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| diagonalisierbare Matrix bestimmen kleines problem: nun soll ich abchecken ob K diagonalisierbar ist , wenn ja bitte diagonalmatrix bestimmen und übergangsmatrix. so. nun wenn ich das charakteristische polynomberechne erhalte ich und nun weiß ich nicht wie es weitergeht. ein eigenwert wäre ja 1. aber mir fehlen noch weitere eigenwerte um eine basis zu erhalten. wenn ich eine basis habe, dann heißt das, dass K auch diagonalisierbar ist. aber in dem fall ist sie nicht diagonalisierbar? |
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| 20.05.2014, 07:11 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es fehlen nicht notwendigerweise weitere Eigenwerte. Die Einheitsmatrix ist offensichtlich diagonalisierbar, besitzt aber nur einen Eigenwert. Hast du die weiteren Eigenwerte denn bestimmt? Wie sieht es mit dem Eigenraum zum Eigenwert 1 aus? Und über welchem Körper soll das alles geschehen? |
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| 20.05.2014, 12:13 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wieso nennst du die matrix einheitsmatrix^^ normal nehme ich die drei EW und schreibe sie diagonal in eine matrix. aber wie soll die matrix diagonalisierbar sein wenn ich nur einen EW habe?
es gibt keine weiteren eigenwerte, außer im komplexen raum. aber die sollen wir nicht machen. im prinzip zerfällt das polynom nicht, auch wenn es zerfällt, aber nur im komplexen. also wenn du mit eigenraum kern vom eigenwert 1 meinst, der wäre NOCHMAL zu der diagonalisierbarkeit. ich weiß, wenn ich paarweise verschiedene EW habe, dann ist matrix diagonalisierbar. was ist wenn EW: 0,1,1 (im R3) ist? was ist wenn EW: 1 (im R3) ist? was ist wenn EW: 0,1(im R3) ist? |
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| 20.05.2014, 12:21 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Einheitsmatrix sollte ein Beispiel sein für eine Matrix, die auch nur einen Eigenwert besitzt aber trotzdem diagonalisierbar ist. Das ist also keine ausreichende Begründung. Und du schreibst bei der weiteren Berechnung auch nicht die (verschiedenen) Eigenwerte in eine Matrix, sondern du erhältst nach der Diagonalisierung gerade eine Diagonalmatrix, wo die Eigenwerte die Einträge der Matrix sind. Es gibt weitere Kriterien um zu klären, ob eine Matrix diagonalisierbar ist, da du den Eigenraum bereits berechnest hast, könnte man da mit einer Aussage über die algebraische und geometrische Vielfachheit weiter kommen.
Allgemein lässt sich da keine Aussage zu treffen, das hängt immer von der jeweiligen Matrix ab. |
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| 20.05.2014, 12:27 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist doch das was ich meinte oder etwas nicht? ich schreibe die eigenwerte diagonal als einträge in die matrix=diagonalmatrix.
also die dimension wäre gleich oder? beide 1. |
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| 20.05.2014, 12:34 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist aber nur dein Endergebnis, damit kannst du i.A. keine Aussage darüber treffen, ob die Matrix diagonalisierbar ist oder nicht (das funktioniert nur, falls das charakteristische Polynom vielfachheitenfrei in Linearfaktoren zerfällt). Ja, die algebraische und geometrische Vielfachheit ist jeweils 1, das sagt uns insbesondere, dass zumindest die Dimension deines Eigenraums stimmt. Da keine weiteren reellen Eigenwerte existieren, kannst du nun sagen, wieviele (linear unabhängigen) Eigenvektoren insgesamt existieren und damit auf die Diagonlisierbarkeit der Matrix schließen. |
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| 20.05.2014, 12:40 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja ist mir schon klar, aber wenn ich nur einen EW habe dann kann die doch gar nicht diagonalisierbar sein?
naja der eigenvektor war ja es sind also unendlich viele. aber du meinst wohl was anderes im reellen bereich ist die matrix nicht diagonalisierbar, aber woraus soll ich das schließen? |
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| 20.05.2014, 12:41 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann sieh dir in diesem Zusammenhang noch einmal die Einheitsmatrix an... Was für Kriterien für Diagonalisierbarkeit kennst du denn? Ihr werdet doch entsprechende Aussagen in der Vorlesung gehabt haben, die mehr als "Eigenwerte einsetzen" beinhalten. |
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| 20.05.2014, 12:59 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
naja ich denke das mit der algebraischen/geometrischen vielfachheit. wenn das polynom nicht zerfällt dann ist die matrix von grund aus nicht diagonalisierbar. genau das ist doch mein fall, oder? im komplexen wäre es zerfallen. die aufgaben sind ja auch so konzipiert, dass man immer das gleiche machen muss. ich seh hier gerade ein beispiel aus dem skript.. kann es sein dass eien matrix für den EW x diagonalisierbar ist und für EW y nicht? bisher war das so, dass die dimension vom kern immer 1 war. d.h. dadurch dass die vielfachheiten gleich sind, ist die matrix diagonalisierbar, aber diese kann ich nicht bestimmen?!!? |
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| 20.05.2014, 13:07 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So solltest du da nicht ran gehen. Es gibt zwar "Standardaufgaben" die zum Üben von "Standardtechniken" da sind, aber deshalb jede Aufgabe mit dem gleichen Ansatz zu bearbeiten, hat mit Mathematik nichts zu tun.
Nein, eine Matrix ist nicht "für einen Eigenwert diagonalisierbar". Entweder sie ist diagonalisierbar oder sie ist nicht diagonalisierbar. Schlage bitte einmal nach, wie ihr die Diagonalisierbarkeit eingeführt habt, wie habt ihr das definiert? Dann: was für Kriterien habt ihr daraus entwickelt? Dass das charakteristische Polynom hier nicht zerfällt könnte man als Begründung verwenden, aber eben nur, wenn ihr dieses Kriterium auch bewiesen habt. Eine elementare Begründung die sich evtl. auch mit eurer Definition decken könnte, verwendet ein Argument über eine (notwendige) Eigenvektorbasis. |
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| 20.05.2014, 13:20 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was meinst du damit. ich hab mir aufgeschrieben, dass wenn die vielfachheiten gleich sind die matrix diagonalisierbar ist. mein eigenvektor ist doch + 2 im komplexen. |
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| 20.05.2014, 13:24 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß nicht, was genau du dir zu den Vielfachheiten aufgeschrieben hast. So wie du es hier wiedergegeben hast, ist das jedenfalls nicht korrekt. Also noch einmal:
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| 20.05.2014, 14:04 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das habich doch erwähnt mit dem zefallen. ich weiß nur nicht ob es zerfällt. weil es sich ja als produkt darstellen lässt und auch nullstelle(n) besitzt. |
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| 20.05.2014, 14:06 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also hattet ihr diese Aussage und dürft diese verwenden? Genau das war ja oben die Frage. Und falls ja: wie lautet der (genaue!) Wortlaut dieses Kriteriums? Sind die Voraussetzungen dafür gegeben und kann man das hier anwenden? |
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| 20.05.2014, 15:24 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn eine Matrix C diagonalisierbar ist, dann zerf¨allt ihr charakteristisches Polynom C in ein Produkt von Linearfaktoren: naja ich finde schon, dass das polynom zerfällt, auch wenn es kein 0815 polynom ist |
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| 20.05.2014, 15:29 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann schlage doch einmal die Definition eines Linearfaktors nach...Ratespielchen bringen da nämlich nichts. Das "Problem" der Aussage ist noch, dass wir hier von einer diagonalisierbaren Matrix ausgehen, und damit eine Aussage über das charakteristische Polynom machen. Wir wollen aber ausgehend vom charakteristischen Polynom eine Aussage über die Diagonalisierbarkeit der Matrix machen. Stichwort: Kontraposition. |
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| 20.05.2014, 15:36 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich finde deine ratespielchen bringen noch viel weniger! für mich war bis her faktorzerlegung nur möglich wenn die funktion nicht >0 ist. |
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| 20.05.2014, 15:45 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann lasse ich dich mal in dem Glauben, dass dieses charakteristische Polynom über den reellen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt, und die Matrix aus diesem Grund diagonalisierbar ist. Weshalb eine Faktorzerlegung nur für Funktionen nicht >0 (was auch immer du damit aussagen willst) möglich sein sollte, erschließt sich mir auch nicht. 
Du stützt dich bisher auf irgendwelche kruden Theorien, man könne allein über die Anzahl der Eigenwerte auf die Diagonalisierbarkeit schließen und bist anscheinend auch nicht willens, die grundlegende Definition des Begriffes bzw. korrekte Kriterien für die Diagonalisierbarkeit nachzuschlagen. Du wirst hier keine Lösung vorgekaut bekommen. Die notwendigen Aussagen hast du jetzt endlich zusammen (es gibt natürlich noch andere Möglichkeiten das zu begründen, aber die Argumentation über das charakteristische Polynom ist korrekt). Du musst es nur noch zusammensetzen und ausformulieren. |
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| 20.05.2014, 15:48 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn eien funktion >0 ist dann hat sie keine nullstellen >> keine nullstellen >> keine zerlegung. so dachte ich |
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| 20.05.2014, 16:39 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist falsch. Gerade Polynome über mit Grad können größer 0 sein, sind aber reduzibel. Es existiert immer eine Zerlegung in Polynome 2. Grades. Hast du also ein charakteristisches Polynom 4. Grades, dann ist dieses zumindest in zwei Polynome 2. Grades zerlegbar. Eventuell ist auch noch eine weitere, zumindest teilweise Zerlegung in Linearfaktoren möglich (natürlich nur, wenn das Polynom Nullstellen im Reellen hat). |
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| 20.05.2014, 18:25 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Um das doch noch zu einem Endergebnis zu bringen:
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