Verteilung, Erwartungswert und Varianz des Stichprobenmittels(Exponential-Verteilung)

20.05.2014, 01:02

Matheneuling1991

Verteilung, Erwartungswert und Varianz des Stichprobenmittels(Exponential-Verteilung)

Ich habe eine Zufallsstichprobe(X1,X2,...Xn) mit Exponentialverteilung; Ich möchte die Verteilung von

$\begin{eqnarray*} \bar{x_{n}} \end{eqnarray*}$ .

Außerdem den Erwartungswert und die Varianz

von $\begin{eqnarray*} \bar{x_{n}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_n^{2} \end{eqnarray*}$

Klingt erstmal recht einfach, was es wahrscheinlich auch ist.
Der Erwartungswert der Verteilung allgemein kann man durch Integrieren der Dichtefunktion von 0 bis unendlich bekommen, dieser ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

Jetzt glaube ich, dass der Erwartungswert der Verteilung mit dem Erwartungswert des Stichprobenmittels übereinstimmt, ist das so? Müsste ich das beweisen?
Die Varianz der Verteilung selbst ist ebenfalls leicht zu berechnen und ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda^{2}} \end{eqnarray*}$

Die Varianz des Stichprobenmittels ist dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n*\lambda^{2}} \end{eqnarray*}$

oder?

Bei der Verteilung weiß ich nicht, was tun;
Ich habe die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung gegeben, kann damit aber nichts auf die Verteilung des Stichprobenmittels schließen - kann jemand helfen?

20.05.2014, 07:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matheneuling1991
Jetzt glaube ich, dass der Erwartungswert der Verteilung mit dem Erwartungswert des Stichprobenmittels übereinstimmt, ist das so?

Ja, das stimmt. Und da der Beweis basierend auf der Linearität des Erwartungswertoperators ein Einzeiler ist - warum ihn nicht anbringen?

Zitat:

Original von Matheneuling1991
Bei der Verteilung weiß ich nicht, was tun;
Ich habe die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung gegeben, kann damit aber nichts auf die Verteilung des Stichprobenmittels schließen - kann jemand helfen?

Schau mal bei Erlangverteilung (oder noch allgemeiner Gammaverteilung) vorbei.

20.05.2014, 22:54

Matheneuling1991

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Ah, dann ist alles klar; Hab den Bezug zur Erlang-Verteilung gefunden, danke.. smile

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