Parameterform in Koordinatenform usw.

20.05.2014, 13:40

123-michi19

Parameterform in Koordinatenform usw.

Meine Frage:
Hi zusammen,

ich komme einfach nicht weiter in dem Punkt, wie eine Ebene in Parameterform in Koordinatenform und Normalform umgewandelt werden soll?

Meine Ideen:
Vielen Dank smile

20.05.2014, 15:17

Stefan03

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Aus den beiden Richtungsvektoren mittels Kreuzprodukt den Normalenvektor berechnen und dann $\begin{eqnarray*} (X-A)\circ n=0 \end{eqnarray*}$ , wobei A der Aufpunkt der Ebenengleichung in Parameterform ist

20.05.2014, 17:41

123-michi19

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Alles klar, vielen Dank :-)

27.06.2014, 01:06

uschiuntermeier

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Parameterform in Koordinatenform usw.
Hallo,

beschäftige mich momentan auch damit und wollte sicherheitshalber nochmal nachfragen ob mit "mittels Kreuzprodukt den Normalenvektor berechnen" nun ein Normalenvektor zu dem Ergebnis des Kreuzproduktes gemeint ist?

27.06.2014, 08:12

Incognita

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Das Ergebnis des Kreuzproduktes ist bereits ein Normalenvektor der Ebene.

27.06.2014, 13:46

mYthos

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Wenn das Kreuzprodukt noch nicht bekannt ist, kann man einfach die Parameter eliminieren.

Dazu schreibt man die Parameterform zeilenweise in drei Gleichungen an.
Nach der Elimination erscheint die Gleichung der Ebene in Koordinatenform.

In einer speziellen "Normalform" kann der Normalvektor noch normiert, d.h. durch seinen Betrag dividiert werden, deswegen ist die ganze Gleichung durch diesen Betrag zu dividieren.

Eine vektorielle Normalform (R3: Ebene; R2: Gerade) ist die Vektorgleichung

$\begin{eqnarray*} (\vec x - \vec a) \cdot \vec n = 0 \end{eqnarray*}$

welche man durch Umstellen der Koordinatenform erzeugen kann.
Übrigens entspricht dies analog der Normalvektorform der Geradengleichung in R2.

mY+

27.06.2014, 19:06

uschiuntermeier

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Parameterform in Koordinatenform usw.
Das sagt mir leider alles nichts. Aber mir ist gerade aufgefallen, dass in meiner Aufgabe die Vektoren nur zwei Koordinaten haben. Ist die Vorgehensweise dann anders? Normalerweise rechnen wir auch mit 3 Koordinaten pro Vektor, daher würde mich eher der Rechenweg für 3 Koordinaten interessieren. Ich habe nun den programmierbaren Taschenrechner TI Voyge 200, damit kann ich problemlos das Kreuzprodukt anzeigen lassen.

Ich bin nun über diesen Thread im Forum hier gestossen:
Von Parameterform zur Koordinatenform usw. ...

Darin schreibt Fassregel:

Zitat:

RE: Von Parameterform zur Koordinatenform usw. ... Du willst also von der Parameterform zur Koordinatenform...da gibt es mehrere Wege, der schnellste geht sicher mit dem Kreuzprodukt: Du hast die Richtungsvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einer Ebene. Dann gilt für den Normalenvektor der Ebene: $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r_2*s_3-r_3*s_2 \\ r_3*s_1-r_1*s_3 \\ r_1*s_2-r_2*s_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Was bedeutet das jetzt? Du schreibst auf der linken Seite den einen Richtungsvektor zweimal untereinander hin, auf der anderen Seite den anderen Richtungsvektor zweimal untereinander. Dann streichst du die erste und die letzte Zeile aus, und machst es wie im folgenden Beispiel: $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Untereinander schreiben: 2 3 1 0 2 8 2 3 1 0 2 8 (denk dir die erste und letzte Zeile als ausgestrichen) jetzt gehst du immer kreuzweise vor: $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1*8-2*0 \\ 2*3-2*8 \\ 2*0-1*3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ damit ergibt sich als Normalenvektor im Beispiel: $\begin{eqnarray*} [latex]\vec{n} \end{eqnarray*}$ [/latex]= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ -10 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Hoffe, die Erklärung ist verständlich. Dann ist es einfach: Nur noch n1, n2 und n3 als a, b, und c in die Koordinategleichung einsetzen, und mit dem Stüzvektor d ausrechnen. edit: Latex

Meine Aufgabe lautet wiefolgt:
Von der Verbindungsgeraden zwischen zwei Punkten die Koordinatenform (wir bezeichnen diese anscheinend mit Parameterform und zur Parameterdarstellung sagen wir Vektordarstellung ) angeben.
[/latex]= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
[/latex]= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der TI berechnet mir das Kreuzprodukt nun zu:
[/latex]= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was mache ich nun damit? Wenn ich die Werte in $\begin{eqnarray*} ax_1+bx_2+cx_3 = b \end{eqnarray*}$ einsetze ergibt das 0=6. Wäre die Vorgehensweise bei 3 Koordinaten pro Vektor anders?

27.06.2014, 19:40

Incognita

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RE: Parameterform in Koordinatenform usw.
In der Schulgeometrie ist das Kreuzprodukt sinnvoll nur für zwei Vektoren des dreidimensionalen Raumes definiert und ergibt mithilfe einer einfachen Berechnungsvorschrift einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht.

Der TI (und auch mein Casio-Rechner) ergänzt den 2-dimensionalen Vektor scheinbar mit einer 0 in der dritten Komponente und errechnet daraus den Vektor, der aber nicht dafür geeignet ist, eine Koordinatenform herzustellen.

Möchte man im zweidimensionalen Raum von der Vektordarstellung zur Koordinatendarstellung übergehen, so sucht man entweder einen Vektor, der senkrecht auf einer Geraden, also auf einem Richtungsvektor steht, oder man benutzt das von mYthos erwähnte Verfahren.

Im zweidimensionalen ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (schnellste Methode).

28.06.2014, 18:10

uschiuntermeier

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Parameterform in Koordinatenform usw.
Wenn ich nun a b zu b -a gemacht habe, bekomme ich aber nicht die richtige Lösung wenn ich die Koordinaten in die Gleichung $\begin{eqnarray*} ax_1+bx_2+cx_3 = b \end{eqnarray*}$ einsetze auch wenn ich das cx streiche. Die Lösung soll x-5y=-6 sein.

28.06.2014, 18:31

mYthos

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Um welche Aufgabe geht es denn?
Wenn es die weiter oben ist, also die Verbindungsgerade zweier gegebener Punkte zu berechnen, ist das Kreuzprodukt komplett fehl am Platz.

Du musst zuerst den Verbindungsvektor der beiden Punkte (4; 2) und (-1; 1) berechnen und dann erst gegebenenfalls den Normalvektor darauf ...

mY+

28.06.2014, 21:28

uschiuntermeier

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Parameterform in Koordinatenform usw.
ok, ist es eigentlich egal ob ich nun Punkt A-B oder B-A rechne so lange ich dann in der ersten Rechnung B und in der Zweiten A als Stützvektor nehme?

28.06.2014, 21:38

Incognita

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$\begin{eqnarray*} g:\vec x = \overrightarrow{OA}+r\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:\vec x = \overrightarrow{OB}+r\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right) \end{eqnarray*}$ sind zwar Standardvarianten (und es ist empfehlenswert, sich an diese zu halten), aber grundsätzlich wären auch $\begin{eqnarray*} g:\vec x = \overrightarrow{OA}+r\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right) \end{eqnarray*}$ und weitere Varianten möglich.

Daher: ja, es ist egal. Die Koordinatenform ist dann bis auf Vielfache eindeutig.

29.06.2014, 06:37

uschiuntermeier

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Parameterform in Koordinatenform usw.
$\begin{eqnarray*} ax_1+bx_2+cx_3 = b \end{eqnarray*}$

Dass in dieser Gleichung b zweimal vorkommt ist so korrekt?

Also ich setzte dann die Werte bei Aufgaben mit 3 Koordinaten pro Vektor aus dem Kreuzprodukt als a,b,c und die aus dem Stützvektor als x1, x2, x3 in die formel ein und müsste doch nach dem Parameter rechts vom Gleichheitszeichen auflösen? Nach dem Einsetzen gibt es doch keine Variablen/Parameter mehr in dieser Gleichung?

29.06.2014, 07:36

Incognita

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RE: Parameterform in Koordinatenform usw.
Nicht ganz; es heißt $\begin{eqnarray*} ax_1+bx_2+cx_3 = \textcolor{red}{d} \end{eqnarray*}$

Der Rest des Vorgehens ist im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ richtig.

29.06.2014, 16:52

uschiuntermeier

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Parameterform in Koordinatenform usw.
Auch wenn es keine Ebene ist, sondern nur eine gerade die durch 2 gegebene Punkte aufgestellt werden soll?

29.06.2014, 17:19

Incognita

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Das hat mYthos doch hier geschrieben. verwirrt

Bitte lies die Beiträge im Zusammenhang.

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Parameterform in Koordinatenform usw.

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