Epsilon-Delta (Stetigkeit), Probleme mit Abschätzungen

20.05.2014, 15:32

LC94

Epsilon-Delta (Stetigkeit), Probleme mit Abschätzungen

Hey, also es geht um folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2 y \end{eqnarray*}$

Ich soll via Epsilon-Delta zeigen, dass das Ding stetig ist. Leider tu ich mich ziemlich schwer mit Abschätzungen und würde, wenn es geht, auch gerne einige allgemeine Tipps dazu kriegen. Falls jemand eine Liste mit gängigen Abschätzungen hat und mir einen entsprechenden Link oder eine Datei zuspielen könnte, wäre sehr gut, habe bisher im Netz nichts derartiges gefunden. So nun zurück zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta > 0}:||(x,y)-(a,b)||<\delta \Rightarrow ||f(x,y)-f(a,b)||<\varepsilon \end{eqnarray*}$
Definition sollte allgemein richtig sein oder? Haben nur die per Limes aufgeschrieben, aber leitet sich ja direkt daraus ab.

$\begin{eqnarray*} ||(x,y)-(a,b)||=\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}<\delta \end{eqnarray*}$ wird angenommen.

Betrachte $\begin{eqnarray*} ||f(x,y)-f(a,b)||=||x^2 y - a^2 b||=|x^2 y - a^2 b| \end{eqnarray*}$ .
Das kann man schreiben als Skalarprodukt:
$\begin{eqnarray*} |<\begin{pmatrix} x^2 \\ -a^2\end{pmatrix} ~,~\begin{pmatrix} y \\ b\end{pmatrix}>| ~\leq\sqrt{x^2+(-a)^2} \cdot \sqrt{y^2 + b^2} \end{eqnarray*}$ .
Die Abschätzung kommt von Cauchy-Schwarz. Ich habe jetzt schon diverse Sachen probiert, z.B. unter eine Wurzel schreiben, Klammern auflösen, führte zu nichts brauchbarem. Andere Umformungen haben bis jetzt auch nicht zum Ziel geführt, ich versuche ja letztendlich irgendetwas in der Form
$\begin{eqnarray*} c \cdot ||(x,y)-(a,b)|| \end{eqnarray*}$ zu erhalten, damit ich quasi $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ "einsetzen" kann, aber ich kriegs in diesem Fall einfach nicht hin. Ich denke, dass der Ansatz mit Cauchy-Schwarz zielführend ist, wüsste nicht wie man sonst da zu einer Wurzel mit Termen, die der Norm entsprechen, die ja nach Annahme kleiner als $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist, kommen sollte.

Würde mich freuen, wenn mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte, habe in dem Bereich wirklich Defizite.

LG

20.05.2014, 16:00

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Haben nur die per Limes aufgeschrieben,

Die was?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ||x^2 y - a^2 b||=|x^2 y - a^2 b| \end{eqnarray*}$ .

Hat das was zu bedeuten oder ist $\begin{eqnarray*} ||\cdot||=|\cdot| \end{eqnarray*}$ ?

Hast du schonmal irgendeine Norm gewählt? Da ja endlichdimensionale Räume vorliegen, sind alle Normen äquivalent, also würde ich mal eine möglichst einfache auswählen.

20.05.2014, 16:08

LC94

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion
Die was?

Die Definition der Stetigkeit ohne das explizite Epsilon-Delta, sprich, wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) \end{eqnarray*}$
gilt, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Hast du schonmal irgendeine Norm gewählt? Da ja endlichdimensionale Räume vorliegen, sind alle Normen äquivalent, also würde ich mal eine möglichst einfache auswählen.

Den Gedanken, eine einfache Norm zu wählen hatte ich auch, habe aber die Standardnorm gewählt, daher kommt auch das mit dem Betrag. Ich denke, dass die Aufgabe auch dafür konzipiert wurde, denn weitere Normen und deren Äquivalenz in endlich-dimensionalen Räumen hatten wir erst gestern, das Blatt geht aber über den Stoff von letzter Woche.
LG

20.05.2014, 16:16

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut.

$\begin{eqnarray*} \langle\begin{pmatrix} x^2\\ -a^2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} y^2\\ b^2\end{pmatrix} \rangle \end{eqnarray*}$ kannst du ja erstmal richtig ausmuliplizieren und vereinfachen. Was erhälst du dann?

20.05.2014, 16:34

LC94

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \langle\begin{pmatrix} x^2\\ -a^2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} y^2\\ b^2\end{pmatrix} \rangle=x^2 y^2 - a^2 b^2 = (xy-ab)(xy+ab) \end{eqnarray*}$
Der Nutzen erschließt sich mir jedoch nicht verwirrt

20.05.2014, 16:37

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh da habe ich mich etwas Missverständlich ausgedrückt, sorry Hammer

Die Abschätzung mit Cauchy-Schwarz machen und dann zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x^2+a^2)\cdot(y^2+b^2)} \end{eqnarray*}$ umformen.

20.05.2014, 17:48

LC94

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Epsilon-Delta (Stetigkeit), Probleme mit Abschätzungen
Oh, hab schon im Eingangspost einen ziemlich dummen Fehler gemacht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |<\begin{pmatrix} x^2 \\ -a^2\end{pmatrix} ~,~\begin{pmatrix} y \\ b\end{pmatrix}>| ~\leq\sqrt{x^2+(-a)^2} \cdot \sqrt{y^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

Ist natürlich quatsch, wenn man das Skalarprodukt mittels Cauchy-Schwarz abschätzt kommt natürlich folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} |<\begin{pmatrix} x^2 \\ -a^2\end{pmatrix} ~,~\begin{pmatrix} y \\ b\end{pmatrix}>| ~\leq\sqrt{x^4+a^4} \cdot \sqrt{y^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

Ändert aber nichts an meiner Lage, ich hab keine Ahnung wie ich da weitermachen soll um irgendwann auf die gewünschte Form
$\begin{eqnarray*} c \cdot ||(x,y)-(a,b)|| \end{eqnarray*}$
am Ende zu kommen.

21.05.2014, 19:58

LC94

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat echt niemand ne Idee, wie ich da weiterkomme? :/
Hab mir noch folgendes überlegt (gilt für die Standardnorm):
$\begin{eqnarray*} ||(x,y)-(a,b)||<\delta \Rightarrow |x-a|<\delta~ und ~|y-b|<\delta \end{eqnarray*}$
Aber das bringt mich auch nicht weiter. Ich weiß zwar wo ich am Ende mit Umformungen und Abschätzungen hinkommen soll, aber der Weg ist das Problem.

LG

Neue Frage »

Antworten »

Epsilon-Delta (Stetigkeit), Probleme mit Abschätzungen

Verwandte Themen