Ungleichung konjugiert

20.05.2014, 15:56

zweidrittelstein

Ungleichung konjugiert

Hallo,ich habe die Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} |\frac{a-b}{1-a^{\ast}b}|<1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |a|<1,|b|<1 \end{eqnarray*}$ .

Ich soll zeigen das die Ungleichung gilt. Meine Idee dazu ist es den Ausdruck innerhalb der Betragsstriche zu erweitern. Also quasi so:

$\begin{eqnarray*} |\frac{a-b}{1-a^{\ast}b}\cdot\frac{1-a^{\ast}b}{1-a^{\ast} b}|<1 \end{eqnarray*}$ um eventuell die dritte binomische Formel anzuwenden? Keine Ahnung ob mich das weiter bringt. Kann jemand helfen?

20.05.2014, 16:05

bijektion

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Ich würde zuerst durchmultiplizieren, um zu $\begin{eqnarray*} |a-b|<|1-a \cdot b| \end{eqnarray*}$ zu gelangen. Für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ gilt die Ungleichung offenbar, jetzt kannst du eine Umformung machen smile

20.05.2014, 16:10

zweidrittelstein

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Ja, dass war auch mein erster Versuch. Leider bin ich ab hier nicht mehr weiter gekommen. Ich habe auch schon versucht mit der Dreiecksungleichung abzuschätzen aber das war auch erfolglos ...
Wie soll ich denn nun weiter machen?

20.05.2014, 17:16

HAL 9000

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RE: Ungleichung konjugiert

Zitat:

Original von zweidrittelstein
Hallo,ich habe die Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} |\frac{a-b}{1-a^{\ast}b}|<1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |a|<1,|b|<1 \end{eqnarray*}$ .

Ich soll zeigen das die Ungleichung gilt.

Soso, sollst du das...

Wählen wir doch mal $\begin{eqnarray*} a=xi,b=-xi \end{eqnarray*}$ mit reellen $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a-b}{1-ab} \right| = \left| \frac{2xi}{1-x^2} \right| = \frac{2x}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ .

Bereits für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist das größer als 1, für $\begin{eqnarray*} x\nearrow 1 \end{eqnarray*}$ bekommt man sogar unbeschränktes Wachstum...

20.05.2014, 17:22

zweidrittelstein

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RE: Ungleichung konjugiert
Sehr cool, dann habe ich ja die Aufgabe durch ein passendes Gegenbeispiel gelöst. Danke! Freude

20.05.2014, 17:47

Ungewiss

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Die Ungleichung stimmt, das Gegenbeispiel ist keins, weil in der Ungleichung im Nenner die zu a konjugierte Zahl steht. Die Bezeichnung war wohl etwas unglücklich, also Konjugation durch einen Multiplikationsstern zu deklarieren, ohne das zu erklären.

Um die Ungleichung zu zeigen, multiplizier mit dem Nenner, quadriere, benutze |z|^2=zz*, mulitiplizier alles aus, schreib es als Ungleichung 0<(...), schreib das (...) als produkt positiver Zahlen und mache dir klar, dass alle Schritte umkehrbar sind.

20.05.2014, 18:12

zweidrittelstein

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Also ich bin nun bei $\begin{eqnarray*} 0<1-(a^{\ast}b)^2+b^2-a^2 \end{eqnarray*}$ Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher wie ich $\begin{eqnarray*} (a^{\ast})^2 \end{eqnarray*}$ behandeln soll.

20.05.2014, 18:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ungewiss
Die Ungleichung stimmt, das Gegenbeispiel ist keins, weil in der Ungleichung im Nenner die zu a konjugierte Zahl steht. Die Bezeichnung war wohl etwas unglücklich, also Konjugation durch einen Multiplikationsstern zu deklarieren, ohne das zu erklären.

Ups, ich hatte es tatsächlich als Multiplikation gelesen - sorry für die Verwirrung.

20.05.2014, 18:33

Leopold

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Zitat:

Original von zweidrittelstein
Also ich bin nun bei $\begin{eqnarray*} 0<1-(a^{\ast}b)^2+b^2-a^2 \end{eqnarray*}$ Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher wie ich $\begin{eqnarray*} (a^{\ast})^2 \end{eqnarray*}$ behandeln soll.

Das stimmt mit Sicherheit nicht. Denn beliebige komplexe Zahlen können nicht mittels der Größer-Relation geordnet werden. Eine solche Größer-Relation existiert nur für reelle Zahlen. Gehe vor, wie Ungewiss es vorgeschlagen hat. Und schreibe bitte $\begin{eqnarray*} \overline{a} \end{eqnarray*}$ für die komplexe Konjugation.

20.05.2014, 18:40

zweidrittelstein

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Ich dachte das kann ich mit $\begin{eqnarray*} z\overline{z}=|z|^2 \end{eqnarray*}$ vereinfachen. Das habe ich dann so gemacht $\begin{eqnarray*} |a-b|^2<|1-\overline{a}b|^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a+b)<(1-\overline{a}b)(1+\overline{a}b) \end{eqnarray*}$ Geht das so nicht? unglücklich

20.05.2014, 18:46

Leopold

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Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \left( a-b \right) \cdot \left( \overline{a} - \overline{b} \right) < \left( 1 - \overline{a} \cdot b \right) \cdot \left( 1 - a \cdot \overline{b} \right) \end{eqnarray*}$

Beachte: $\begin{eqnarray*} |z|^2 = z \cdot \overline{z} \end{eqnarray*}$

Die komplexe Konjugation ist mit den Grundrechenarten verträglich und restringiert auf die reellen Zahlen die Identität.

20.05.2014, 19:54

Van Thom

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Dann habe ich $\begin{eqnarray*} 0<1+\overline{a}ba\overline{b}-a\overline{a}-b\overline{b} \end{eqnarray*}$ Kann ich das noch weiter vereinfachen?

20.05.2014, 20:05

Leopold

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Das stimmt, und es kann auch noch weiter vereinfacht werden. Zunächst können alle variablen Ausdrücke mit Hilfe von Beträgen geschrieben werden. Und dann kann der Ausdruck auch noch faktorisiert werden. Einfach ein bißchen probieren.

Irgendwo anders liegen aber noch Fallstricke, nämlich auf dem Weg zu dieser Ungleichung. Ich bin mir fast sicher, daß du an einer Stelle einfach tollkühn über eine verhängnisvoll schwankende Brücke geschritten bist. Und daß du glücklich auf der anderen Seite angekommen bist, liegt nicht an dir, sondern an einem guten Geist, der dich beschützt hat. Worum geht es? Betrachte als Beispiel die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 1 + 2 \operatorname{i} - 2 \operatorname{i} < 2 \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung ist sicher wahr, denn links steht in Wahrheit nur die reelle Zahl $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt subtrahieren wir formal auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Dann entsteht

$\begin{eqnarray*} 1 - 2 \operatorname{i} < 2 - 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Und das ist vollkommen sinnentleert. Denn zwischen komplexen Zahlen gibt es keine Größer- oder Kleiner-Relation.

20.05.2014, 21:40

Einhalbstein

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Ich nehme an du meinst ich kann dann wieder $\begin{eqnarray*} |\overline{z}|=z\cdot\overline{z} \end{eqnarray*}$ ausnutzen? Das wäre dann ja $\begin{eqnarray*} 0<1+|\overline{a}b|^2|a\overline{b}|^2-|a\overline{a}|^2-|b\overline{b}|^2 \end{eqnarray*}$ Irgendwie finde ich diese ganzen Umformungen ziemlich abstrus ... verwirrt

20.05.2014, 21:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Einhalbstein
Irgendwie finde ich diese ganzen Umformungen ziemlich abstrus ... verwirrt

Auf deine Umformungen trifft das uneingeschränkt zu - bedenklich, was du da in deiner Unkonzentriertheit anrichtest. unglücklich

$\begin{eqnarray*} |\overline{z}| = z\cdot\overline{z} \end{eqnarray*}$ ist i.a. falsch - es erinnert entfernt an das richtige $\begin{eqnarray*} |z|^2 = |\overline{z}|^2 = z\cdot\overline{z} \end{eqnarray*}$ .

In diesem richtigen Sinne lautet die äquivalent umgeformte Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0<1+|a|^2|b|^2-|a|^2-|b|^2 \end{eqnarray*}$ .

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