Differentialgleichung lösen

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20.05.2014, 17:04	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung lösen Meine Frage: Hallo miteinander Ich habe hier eine Aufgabe mit der ich nicht gut voran komme. Man bestimme die allgemeine Lösung des Systems $\begin{eqnarray} x'=-y+ex(1-x^2-y^2)<br /> y'=x+ey(1-x^2-y^2) \end{eqnarray}$ wobei ein e reeller Parameter sei. Hinweis: Finde eine Lösung der Form $\begin{eqnarray} (x(t),y(t))=(r(t)cos\gamma (t),r(t)sin\gamma (t)) \end{eqnarray}$ mittels Differentialgleichungen für $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe erstmal versucht umzuformen, in der Hoffnung es ergibt sich was sinnvolles...aber hat weniger geklappt. Kann mir jemand beim Lösen der Aufgabe helfen? Danke im Voraus.
20.05.2014, 18:31	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung lösen Benutze die gegebene Form von $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y(t) \end{eqnarray}$ . Bilde dafür die Ableitungen nach t, aber berücksichtige, dass $\begin{eqnarray} r(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(t) \end{eqnarray}$ von t abhängen. Ersetze in den beiden DGL die Ausdrücke $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x'(t) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} y(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'(t) \end{eqnarray}$ durch die neuen Formen. Multipliziere die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray} \cos(\gamma t) \end{eqnarray}$ und die zweite mit $\begin{eqnarray} \sin(\gamma t) \end{eqnarray}$ ; summiere beide Gleichungen---> es ergibt sich eine DGL für r. Multipliziere dann die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray} \sin(\gamma t) \end{eqnarray}$ und die zweite mit $\begin{eqnarray} \cos(\gamma t) \end{eqnarray}$ ; subtrahiere beide Gleichungen---> es ergibt sich eine DGL für $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ .
20.05.2014, 22:49	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung lösen Ok super, vielen Dank. Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet. Aber dann wären meine Differentialgleichungen für $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ folgende: $\begin{eqnarray} r'(t)=er(t)-er(t)^3(cos\gamma (t)^2-sin\gamma (t)^2)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma '=1 \end{eqnarray*}$ ?
21.05.2014, 12:48	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung lösen Ich kann nicht nachvollziehen, wie du auf deine DGL kommst. Ich erhalte: $\begin{eqnarray} r'=er(1-r^2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma't+\gamma=1 \end{eqnarray*}$ Überprüfe bitte deine Rechenschritte selbst oder zeige deine Zwischenergebnisse auf, damit ich dir weiterhelfen kann.
21.05.2014, 15:15	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung lösen Ok, ich habe meinen Fehler bei der 1. Lösung gefunden. In der Klammer musste ein + stehen und dann komm ich auf selbe. Bei der 2.Lösung weiß ich nicht wo mein Fehler ist. Ich gebe jetzt folgenden Schritt an: Multipliziere dann die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray} \sin(\gamma t) \end{eqnarray}$ und die zweite mit $\begin{eqnarray} \cos(\gamma t) \end{eqnarray}$ ; subtrahiere beide Gleichungen---> es ergibt sich eine DGL für $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} 1)r'cos\gamma sin\gamma-r (sin\gamma)^2\gamma '=-r (sin\gamma)^2+ercos\gamma sin\gamma(1-x^2-y^2)<br /> <br /> 2)r'sin\gamma cos\gamma-r (cos\gamma)^2\gamma '=r (cos\gamma)^2+ercos\gamma sin\gamma(1-x^2-y^2) \end{eqnarray}$ Wenn ich 1 und 2 subtrahiere komme ich auf $\begin{eqnarray} -r\gamma '=-r\equiv \gamma '=1 \end{eqnarray}$ Ich habe bewusst das x und y in der Klammer nicht ersetzt, weil ich mir dachte $\begin{eqnarray} ercos\gamma sin\gamma(1-x^2-y^2)-ercos\gamma sin\gamma(1-x^2-y^2)=0 \end{eqnarray*}$
21.05.2014, 16:51	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch eine Frage. Neben der Lösung soll man auch zeigen, dass für $\begin{eqnarray} xo^2+yo^2>1 \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} t^- (xo,yo)>-\infty \end{eqnarray}$ gilt. In der Vorlesung hatten wir unser maximales Existenzintervall für unsere Lösung wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} Imax(t0,x0)=(t^{-} (to,xo),t^+(to,xo)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} <br /> - \infty \leq t^-\leq to\leq t^+\leq \infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x'=f(t,x) x(to)=xo. \end{eqnarray}$ Ein Satz sagt aus dass $\begin{eqnarray} t^-< \infty \Rightarrow \lim_{t \to t^-} \end{eqnarray}$ Lösung des DGL= $\begin{eqnarray} \infty . \end{eqnarray}$ Das wäre mein erster Gedanke, stimmt den schon die Richtung, weil ehrlich gesagt fällt es mir schwer diese Behauptung zu zeigen.
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21.05.2014, 18:45	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung lösen Bei mir sehen die beiden Glgn folgendermaßen aus. $\begin{eqnarray} 1)r'cos(\gammat) sin(\gammat)-r (sin(\gammat))^2(\gamma 't+\gamma)=-r (sin(\gammat))^2+ercos(\gammat) sin(\gammat)(1-r^2)<br /> <br /> 2)r'sin(\gammat) cos(\gammat){\color{red}{+}}r (cos(\gammat))^2(\gamma 't+\gamma)=r (cos(\gammat))^2+ercos(\gammat) sin(\gammat)(1-r^2) \end{eqnarray}$ Wenn ich 1 und 2 subtrahiere komme ich auf $\begin{eqnarray} -r(\gamma 't+\gamma)=-r\equiv (\gamma 't+\gamma)=1 \end{eqnarray}$ Bei der Ableitung der Winkelfunktionen bitte Ketten- und Produktregel beachten. Die Konstante e ist sehr unglücklich gewählt, da beim Lösen der DGL die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} e(x)=e^x \end{eqnarray*}$ benötigt wird, wobei e die eulersche Zahl e = 2,718281828459045235...ist, s. Wikipedia. Zu deiner Zusatzfrage kann ich leider nichts sagen, dazu bin ich zu lange aus Existenzbetrachtungen heraus.
21.05.2014, 19:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@zyko Wieso redest du da von $\begin{eqnarray} \gammat \end{eqnarray}$ ? Ich denke, es geht um $\begin{eqnarray} \gamma(t) \end{eqnarray}$ , also ohne* Produkt mit $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , sondern nur "Funktion von t". Und in dem Sinne ist $\begin{eqnarray} \gamma' = 1 \end{eqnarray}$ durchaus richtig.
22.05.2014, 12:08	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen, dass das Argument der Winkelfunktionen $\begin{eqnarray} \gamma(t)t \end{eqnarray}$ sei. Deswegen komme ich auf eine andere DGL für $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \gamma'=1 \end{eqnarray*}$ Wenn ich mir die Lösung für r anschaue, dann gibt es kein t, so dass r>1 sein kann.

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