Tupel Basis

20.05.2014, 15:19

zweidrittelstein

Tupel Basis

Hallo, die Aufgabe lautet: Es sei $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray*} (V,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ . Welche der folgenden Tupel sind auch eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ?
a) $\begin{eqnarray*} (v_1,v_1+v_2,...,v_1+v_2+...+v_n) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} (v_1-v_2,v_2-v_3,...,v_k-v_{k+1},...,v_{n-1}-v_n,v_n-v_1) \end{eqnarray*}$
Das heißt ja ich muss schauen ob die Tupel linear unabhängig sind. Irgendwie checke ich aber nicht wie ich das mit den Tupeln zeigen soll? Für lineare Unabhängigkeit gilt ja $\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1=...=\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$ . Wie funktioniert das denn mit den Tupeln?

20.05.2014, 17:33

Helferlein

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RE: Tupel Basis
Im Prinzip genauso.

Denk Dir zunächst
a) $\begin{eqnarray*} (v_1,v_1+v_2,...,v_1+v_2+...+v_n) = (u_1,u_2,...,u_n) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} (v_1-v_2,v_2-v_3,...,v_k-v_{k+1},...,v_{n-1}-v_n,v_n-v_1) = (w_1,w_2,...,w_n) \end{eqnarray*}$

und überprüfe dann das u-bzw. w-Tupel auf lineare unabhängig, indem Du die Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} (v_i)_{i=1..n} \end{eqnarray*}$ ausnutzt.

20.05.2014, 18:02

zweidrittelstein

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RE: Tupel Basis
Meinst du es evtl so?

$\begin{eqnarray*} \lambda_1u_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2u_2=0 \end{eqnarray*}$
.
.
.
$\begin{eqnarray*} \lambda_nu_n=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_1,u_2,...,u_n \end{eqnarray*}$ ungleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ folgt darauß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ muss Null sein und demnach auch lineare Unabhängigkeit?

20.05.2014, 18:55

RavenOnJ

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RE: Tupel Basis
Nein, das meint Helferlein nicht! Er meinte, du sollst prüfen, ob

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \mu_i u_i =0\Rightarrow \mu_i = 0\forall i \in\{1,2,\cdots, n\} \end{eqnarray*}$

Dann wären die $\begin{eqnarray*} \{u_i\} \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine Basis. Du bekommst ein lineares Gleichungssystem in den $\begin{eqnarray*} \{\mu_i\} \end{eqnarray*}$ , das zu lösen ist.

20.05.2014, 19:48

zweidrittelstein

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RE: Tupel Basis
die $\begin{eqnarray*} \lambda_n \end{eqnarray*}$ oder bei dir $\begin{eqnarray*} \mu_i \end{eqnarray*}$ dürfen nur die Null annehmen das sie linear unabhängig sind. Wie soll ich denn darauß ein LGS bekommen?

20.05.2014, 19:56

RavenOnJ

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RE: Tupel Basis
Eigentlich ist das Wesentliche schon vorgekaut. Du musst nur noch die Basisvektoren $\begin{eqnarray*} \{u_i\} \end{eqnarray*}$ in den Summenausdruck einsetzen und Koeffizientenvergleiche machen. Diese Koeffizientenvergleiche ergeben das Gleichungssystem.

20.05.2014, 20:03

RavenOnJ

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RE: Tupel Basis

Zitat:

Original von zweidrittelstein
die $\begin{eqnarray*} \lambda_n \end{eqnarray*}$ oder bei dir $\begin{eqnarray*} \mu_i \end{eqnarray*}$ dürfen nur die Null annehmen das sie linear unabhängig sind.

Andersherum: Wenn die Vektoren $\begin{eqnarray*} \{u_i\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, dann sind die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ alle gleich 0. Das gilt es zu zeigen oder zu widerlegen. Kleiner Tipp: Im Teil a) bekommst du lineare Unabhängigkeit, im Teil b) nicht.

20.05.2014, 22:30

Helferlein

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RE: Tupel Basis
Du hast es oben doch schon selber geschrieben:

Zitat:

Original von zweidrittelstein
Für lineare Unabhängigkeit gilt ja $\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1=...=\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$ .

Das "mit" ist durch ein " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " zu ersetzen, aber darauf hat Raven ja schon hingewiesen.

Da es um $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ geht, musst Du die Gleichung natürlich entsprechend anpassen.

21.05.2014, 10:22

zweidrittelstein

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RE: Tupel Basis
Ich habe jetzt folgendes gemacht um es auch formal schlüssig aufzuschreiben.

Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1u_1+\lambda_2u_2+...+\lambda_nu_n=0 \end{eqnarray*}$ . Nach Koeffizientenvergleich mit

$\begin{eqnarray*} \lambda_1u_1+\lambda_2u_2+...+\lambda_nu_n=0+0u_1+0u_2+...+0u_n \end{eqnarray*}$ gilt also:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1u_1=0u_1\Rightarrow \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2u_2=0u_2\Rightarrow\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ und demnach $\begin{eqnarray*} \lambda_nu_n=0\lambda_n\Rightarrow \lambda_n=0 \end{eqnarray*}$ und demnach auch ist $\begin{eqnarray*} (v_1,v_1+v_2,...,v_1+v_2+...+v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Ich könnte jetzt noch für $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ die jeweiligen $\begin{eqnarray*} v_1,v_1+v_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen um zu zeigen das durch den Koeffizientenvergleich folgt das nur die triviale Lösung existiert.

Kann ich das bei der a) so machen?

21.05.2014, 11:31

RavenOnJ

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RE: Tupel Basis
Tut mir leid, aber das ist vollkommen falsch. Zwei Leute geben dir hier einen Haufen Hinweise, wie das Problem zu lösen ist, aber du liest die Posts anscheinend nicht oder nicht richtig.

Also nochmal:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i u_i =0\quad (*) \end{eqnarray*}$
ist die VORAUSSETZUNG!

Unter der Voraussetzung sollst du PRÜFEN, ob folgendes eine zwingende SCHLUSSFOLGERUNG ist.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i u_i =0\Rightarrow \lambda_i = 0\forall i \in\{1,2,\cdots, n\} \end{eqnarray*}$
Wenn das so ist, dann hast du gezeigt, dass die $\begin{eqnarray*} \{u_i\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Ansonsten nicht.

Der Koeffizientenvergleich ist ein ganz anderer. Das einzige, was du als gesichert annehmen darfst (denn das ist gegeben, weil die $\begin{eqnarray*} \{v_i\} \end{eqnarray*}$ eine Basis bilden), ist
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \mu_i v_i =0\Rightarrow \mu_i = 0\forall i \in\{1,2,\cdots, n\}\quad(**) \end{eqnarray*}$

Diese Beziehung musst du benutzen.
(Ich hatte übrigens in einem vorigen Post in (*) statt der $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \mu_i \end{eqnarray*}$ verwendet, da du in deinem 1. Post die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ für die Beziehung (**) benutzt hattest. Die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ in (*) sind grundsätzlich andere als die in der Beziehung (**) aus deinem 1. Post.)

Setze die Vektoren $\begin{eqnarray*} \{u_i\} \end{eqnarray*}$ , die sich gemäß den Vorgaben aus a) in den $\begin{eqnarray*} \{v_i\} \end{eqnarray*}$ ausdrücken lassen in die Gleichung (*) ein. Dann musst du umordnen und die Koeffizienten zu den einzelnen $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ zusammenfassen. Danach kannst du den Koeffizientenvergleich mit der Gleichung (**) durchführen, was das schon erwähnte lineare Gleichungssystem in den $\begin{eqnarray*} \{\lambda_i\} \end{eqnarray*}$ ergibt.

21.05.2014, 19:23

zweidrittelstein

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Hat alles gelappt, danke für die tolle Erklärung. Wink

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