kontrahierende abbildung

20.05.2014, 19:02

Anita89

kontrahierende abbildung

Meine Frage:
guten abend leute smile

!
ich habe eine gleichung
$\begin{eqnarray*} x^5 = 10x+1 \end{eqnarray*}$ gegeben, die laut zwischenwertsatz eine lösung in [1,2] hat.
nun soll ich zeigen, dass die abbildung $\begin{eqnarray*} f: [1,2] \rightarrow [1,2] : x \rightarrow \sqrt[5]{10x+1} \end{eqnarray*}$ kontrahierend ist und mittels dieser abbildung die lösung der gleichung zu approximieren.

Meine Ideen:
um die kontrahierende abbildung nachzuweisen, versuchte ich es mit der definition und kam dann mit der dreiecksungleichung auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} |f(x_1)-f(x_2)| \leq |\sqrt[5]{10x_1+1}| + |\sqrt[5]{10x_2+1}| \end{eqnarray*}$
nun komm ich aber nicht mehr weiter....stimmt mein lösungsansatz überhaupt? dankeschöööööön

20.05.2014, 19:07

Leopold

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Es genügt zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \left| f'(x) \right| \leq \gamma < 1 \end{eqnarray*}$ ist.

20.05.2014, 19:20

Anita89

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aha, das erklärt so einiges....
ich habs jetzt abgeleitet, und in die ungleichung eingesetzt. jetzt hab ich (wenn ich mich nicht verrechnet habe):

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[4]{32}-1}{10} \leq x, x\geq 0,138 \end{eqnarray*}$

also die zeichen sollten echt kleiner, bzw echt größer sein Augenzwinkern

und da x ja auf jeden fall größer als dieser wert ist, da es ja aus [1,2] kommen muss, ist f l-stetig mit l-konstante kleiner 1.
kann man das so sagen?

20.05.2014, 19:24

Leopold

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Zitat:

Original von Anita89
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[4]{32}-1}{10} \leq x, x\geq 0,138 \end{eqnarray*}$

Sinn! $\begin{eqnarray*} 1 \leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$ . Wie kommst du da auf $\begin{eqnarray*} x \geq 0{,}138 \end{eqnarray*}$ ?
Und wo kommt überhaupt dieser Ausdruck her?

20.05.2014, 19:36

Anita89

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oha...
ich hab die funktion abgeleitet und dann kam da $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt[5]{(10x+1)^4}} \end{eqnarray*}$ heraus
damit die fkt l-stetig ist, muss es ja kleiner 1 sein, und dann habe ich die gleichung gelöst.... die gleichung ist erfüllt, wenn x > 0,138 ist und da x ja laut angabe aus [1,2] kommt, ist es sicher größer als 1,38!
ist das so komplett falsch?

20.05.2014, 19:53

Leopold

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Nein, das ist nicht komplett falsch. Aber erst jetzt, wo du die Lösung erklärst, versteht man sie. Bitte beachte: Mathematik entsteht erst, wenn Formeln und so weiter durch Texte in einen Zusammenhang gebracht werden.

Allerdings genügt es nicht, daß $\begin{eqnarray*} \left| f'(x) \right| < 1 \end{eqnarray*}$ ist. Es muß eine Konstante $\begin{eqnarray*} \gamma < 1 \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} \left| f'(x) \right| \leq \gamma \end{eqnarray*}$ . Achte auf diesen wichtigen Unterschied.

Ich würde anders argumentieren:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{2}{\left( 10x+1 \right)^{\frac{4}{5}}} \end{eqnarray*}$

Der Nenner ist für $\begin{eqnarray*} x \in [1,2] \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend; denn sowohl die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto 10x+1 \end{eqnarray*}$ als auch die Funktion $\begin{eqnarray*} t \mapsto t^{\frac{4}{5}} \end{eqnarray*}$ ist das, also auch ihre Verkettung. Damit ist $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ selbst streng monoton fallend. Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} \left| f'(x) \right| = f'(x) \leq f'(1) = \frac{2}{11^{\frac{4}{5}}} < 1 \, , \ \ x \in [1,2] \end{eqnarray*}$

20.05.2014, 19:59

Anita89

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sorry, war mein fehler smile

!
danke für die ausführliche erklärung!!!! ich habs vorher falsch verstanden, dass ich noch eine konstante finden muss!
jetzt erscheint mir alles logisch!!!! DANKE!

um nun auf die eigentliche fragestellung zurückzukommen, muss ich ja die lösung der gleichung approximieren! ich hab schon das internet durchsucht, und bin dabei auf den banachschen fixpunktsatz gestoßen! hat der was damit zu tun?

20.05.2014, 20:10

Leopold

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Zitat:

Original von Anita89
... und bin dabei auf den banachschen fixpunktsatz gestoßen! hat der was damit zu tun?

Das hat er. Da alle Voraussetzungen erfüllt sind, kannst du einfach rekursiv

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = f(x_n) \end{eqnarray*}$

berechnen, wobei der Startwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} [1,2] \end{eqnarray*}$ gewählt werden darf. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} x_n \to \xi \ \ \mbox{für} \ n \to \infty \end{eqnarray*}$

Und dieses $\begin{eqnarray*} \xi \in [1,2] \end{eqnarray*}$ ist der gesuchte Fixpunkt: $\begin{eqnarray*} f(\xi) = \xi \end{eqnarray*}$

Nachtrag: Hast du eigentlich begründet, daß tatsächlich $\begin{eqnarray*} f: [1,2] \to \color{red} [1,2] \end{eqnarray*}$ gilt?

20.05.2014, 20:16

Anita89

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gut, deine erklärung ist echt hilfreicher als all die komplizierten definitionen im netz!

nun ja, ich hab gesagt, dass f str.monoton wachsend ist und dass x ja laut definition nur werte zwischen 1 und 2 annehmen kann. somit ist f nach unten und oben beschränkt, die untere schranke ist größer 1 und die obere schanke kleiner als 2, somit wird f auf [1,2] abgebildet.
das war meine begründung, bin mir aber nicht sicher...!

20.05.2014, 20:36

Leopold

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Zitat:

Original von Anita89
bin mir aber nicht sicher...!

Doch, das paßt!

20.05.2014, 20:39

Anita89

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perfekt, dankeschöön! schönen abend noch und nochmals viiiielen vielen dank für deine hilfreichen tricks!!!!
lg smile

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