Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung

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Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Meine Frage:
Hallo/guten Abend,

a) zeigen Sie, dass die Hyperbel in der xy-Ebene definiert ist als in einer Polardarstellung der Form



dargestellt werden kann, mit den Parametern und der Exzentrizität . Beachten Sie, dass der Ursprung des Koordinatensystems in der xy-Ebene im Brennpunkt liegt.

(Was auch immer dieser Minus oder Strich unter dem F bedeutet, einfach Andeutung des negativen nehme ich an?)

b) Diskutieren Sie die Definitionsbereiche von die notwendig sind um die beiden (rechts/links)
Äste der Hyperbel (entsprechend des +- Vorzeichens in der Formel oben) zu beschreiben.

Meine Ideen:
Also ich tue mich sehr schwer. Zum ersten mal habe überhaupt mathematisch verstanden was eine Hyperbel ist. Sprich ein Schnitt durch einen Kegel z.B.
Der Begriff des Brennpunktes ist mir nach dem Wikipediaartikel klarer geworden, weiß leider nur nicht was er in der Aufgabe für einen Stellenwert hat bzw. sehe da noch nichts.
Wie ich jedoch bei a) anfangen soll zu zeigen, dass die Hyperbel in Polardarstellung

ist, ist mir unklar. Polarkoordinaten sind einleuchtend.

Hoffe, dass mir jemand die Augen öffnen kann und ein wenig frisches Wissen in den Kopf schießt.

Danke schon mal, Alex
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Der Abstand eines Punktes auf der Parabel vom linken Brennpunkt
wird ja durch r bestimmt. Der Abstand vom rechten Brennpunkt
beträgt

Du kannst folgende Beziehung nutzen:



Zu zeigen: Differenz der beiden Abstände ist
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Zitat:
Original von frank09


Zu zeigen: Differenz der beiden Abstände ist

Die Exzentrizität ist ein Maß für die Abweichung einer Ellipse von der Kreisform. Die Polardarstellung leuchtet ein, dass man sie nutzen muss. Differenz der beiden Abstände ist ?

Zitat:
Original von frank09
Der Abstand eines Punktes auf der Parabel vom linken Brennpunkt
wird ja durch r bestimmt. Der Abstand vom rechten Brennpunkt
beträgt

Wie kommst du darauf? Sprich auf den Abstand eines Brennpunktes von der linken "Parabel" bzw. auf den rechten
Der Abstand leuchtet halbwegs ein nur die Exzentrizität treibt mich in den Wahsinn, weil ich nicht verstehe, was diese mit dem Abstand zu tun hat, vllt doch sie gibt ja die Abweichung an, aber wieso ist dann die erneute Frage der Abstand eines Punktes auf der Parabel vom linken Brennpunkt ? Und vom rechten ?

Aber in der Tat kann ich ja schon die Polardarstellung einsetzen.




Jetzt könnte ich einsetzen, aber was ist mit dem Rest? Vor allem was ist jetzt das r und was das a?

Danke frank09 Freude

Liebe Grüße Alex
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Alle Informationen findest du hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)

Alternativ kannst du auch

nach r auflösen. Ist meiner Meinung nach leichter.

Ich habe den Abstand zu oben falsch angegeben.
Durch die Verschiebung des Ursprungs in den linken Brennpunkt ergibt sich:
Der Abstand vom rechten Brennpunkt
beträgt
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Zitat:
Original von frank09
Alle Informationen findest du hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)

Diese pädagogisch wertvolle Hilfestellung bekomme ich in 90% der Vorlesungen, bzw. das ist meine erste Herangehensweise sich neben den Vorlesungen auch bei Wikipedia schlau zu machen.

Zitat:
Original von frank09

nach r auflösen. Ist meiner Meinung nach leichter.

Hm okay. Wie kommt denn das da denn rein verwirrt ?

Zitat:
Original von frank09
Ich habe den Abstand zu oben falsch angegeben.
Durch die Verschiebung des Ursprungs in den linken Brennpunkt ergibt sich:
Der Abstand vom rechten Brennpunkt
beträgt

Das ist mir auch noch nicht ganz klar, vielleicht würde eine Skizze helfen?

Danke frank09, liebe Grüße

Alex
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von frank09
Ich habe den Abstand zu oben falsch angegeben.

Macht nicht's passiert schon mal. Was ist denn nun richtig?

LG Alex
 
 
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Bei der Koordinatendarstellung der Form

befindet sich der Mittelpunkt der Hyperbel im Ursprung.
Brennpunkte

Bild (A) zeigt eine Hyperbel mit a=3 und b=4 in Koordinatendarstellung.

Wenn dieselbe Hyperbel in Polarform dargestellt wird, bezeichnet r den Abstand eines Punktes vom linken Brennpunkt.
Will man die Beziehungen




nutzen, so muss die Hyperbel (A) um nach rechts verschoben werden, damit im Ursprung liegt.
Diese Verschiebung wird in der Koordinatenform durch Ersetzen von x durch x-5 (allgem. x-e) ausgedrückt (Bild (B)).

Wenn man dann x und y ersetzt, ergibt sich allgemein:

Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Danke sehr für deine Antwort.

Was muss ich denn jetzt noch machen? Zuerst muss ich ja Gleichung nach r auflösen?



Dann tu ich das mal:









Da hänge ich irgendwie fest. Ich meine ich könnte das ausmultiplizieren, aber egal was ich ja mache taucht ja ein neuer Gegenterm in der Subtraktion auf, wenn ich etwas multiplizieren oder dividiere. Ich wüsste auch nicht was für ein Additionstheorem hier von Nutzen sein könnte. traurig
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Als nächstes könntest du durch ersetzen:




Nun ausmultiplizieren und nutzen, dass ist:





Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Zitat:
Original von frank09
Nun ausmultiplizieren und nutzen, dass ist:



Mir ist nicht ganz klar womit du ersetzst, bzw. da einbringst, später ersetzst du es ja durch aber der Schritt davor ist nicht klar traurig










Jetzt komme ich wieder nicht weiter Mensch traurig
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Ok, Alex, ich habe wohl zu viele Schritte auf einmal gemacht:

erstmal wie schon erwähnt sin² durch 1-cos² ersetzen und in die Klammer hineinmultiplizieren:



noch vorhandene Klammer ausmultiplizieren



letzten Summanden auf der li. Seite nach vorne bringen und durch a²+b² ersetzen



vorne r²cos² ausklammern und in hintere Klammer hineinmultiplizieren:



a²+b² durch ersetzen und a² b² eliminieren:



jetzt aber... Augenzwinkern
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kepler Problem, Hyperbel in Polardarstellung
Oh danke vielmals Freude War wohl zu viel für mich. Also























Ich glaube so ist's doch richtig, aber wie komme ich jetzt auf diese Form aus der Aufgabenstellung:



wenn ich jetzt für p den Parametern und der Exzentrizität einsetze kommt's nicht wirklich heraus. unglücklich Das ist ja das Ziel bei der a)?
Gast2788 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Habe bis vorhin an der selben Aufgabe gesessen, der Tipp mit dem Binom hats dann bei mir gebracht.
Allerdings ist frank09 davon ausgegangen, dass e² = a² + b² ist.
a²*e² = a²+b² wäre mMn hier richtig.

Lg
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast2788
a²*e² = a²+b² wäre mMn hier richtig.

Hm. Kommt denn dann das richtige heraus?
Gast2788 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir schon.

Wenn du mit meinem Tipp die Gleichung nach der selben Methode auflöst solltest du irgendwann folgenden Zwischenschritt erreichen:



Von hier an kannst du es ja nochmal selber prüfen, wenn du auf das gewünschte Ergebnis kommst, machs nochmal und versuche mit

zu vereinfachen.

Für die Anfangsbedingung (die Verschiebung in den Brennpunkt) wäre dementsprechend


zu benutzen.

Lg
Gast2788 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe grade, dass die Zwischenergebnisse gar nicht so verschieden sind.
Wenn du vor jedem Epsilon noch ein a mit der entsprechenden Potenz schmuggelst sollte es passen.



a ausklammern und b² / a ersetzen.

Frage an dich: Weißt du, wie das Rekapitulieren in der Aufgabe c) gemeint ist?

Lg
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast2788
Sehe grade, dass die Zwischenergebnisse gar nicht so verschieden sind.
Wenn du vor jedem Epsilon noch ein a mit der entsprechenden Potenz schmuggelst sollte es passen.

Ja nur wie bekomme ich das darein?

Zitat:
Original von Gast2788
Frage an dich: Weißt du, wie das Rekapitulieren in der Aufgabe c) gemeint ist?

Das weiß ich leider nicht.

PS: Vllt registriert du sich, dann kann man sich eine Nachricht schicken.
Gast2788 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du musst das a vor die Epsilons schreiben smile

Du hattest ja die a²+b² mit den e² ersetzt.
Schau mal in die Aufgabenstellung, quadriere das Epsilon dort, und du wirst sehen, dass a²+b² UNgleich dem Quadrat von Epsilon ist.
Aber deine Rechnung war trotzdem nicht ganz umsonst, wenn du eben vor jedem Epsilon ein a mit derselben Potenz quetscht sollte es passen.

Hab mich registriert smile
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso okay, das hast ja gesagt, dachte da könnte noch was sein. Das wär's dann zu der a)?
Bei der b) geht's um die Definitionsbereiche. So wie ich es verstanden habe soll wir den Grenzwert bilden und den so bestimmen, dass der rechte gegen + unendlich und der linke gegen - unendlich geht?

PS: Super Augenzwinkern
Gast2788 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Denke, es ist zielführend, wenn man sich Gedanken darüber macht, wann r gegen +unendlich (respektive -unendlich) geht.
Daraus kann man sicher Aussagen über Phi treffen. smile
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Nehme an, da keine Rückmeldung zur a) gekommen ist, dass es dazu alles war. Wie gehst du da bei der b) vor ich meine der Cosinus ist ja beschränkt und dann wird's schwer i.was mit zu bekommen.
Gast2788 Auf diesen Beitrag antworten »

Die a) ist denke ich erledigt, ja. Du könntest natürlich noch die Gegenrichtung zeigen, also von Polar- in kart. Koordinaten. Ist aber denke ich nicht gefordert...

Zur b)
Was passiert, wenn

gegen 1 läuft? Und wann passiert das?
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast2788
Die a) ist denke ich erledigt, ja. Du könntest natürlich noch die Gegenrichtung zeigen, also von Polar- in kart. Koordinaten. Ist aber denke ich nicht gefordert...

Joa denke auch.

Zitat:
Original von Gast2788
Zur b)
Was passiert, wenn

gegen 1 läuft? Und wann passiert das?

Wenn ist, dann ist der Cosinus 1. Aber dann läuft's gegen und wann gegen 1 läuft keine Ahnung^^. Ja wenn

PS: Habe dir übrigens eine Nachricht geschickt :P
Gast2788 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, noch genauer:
Was passiert wenn

ist?
Setz 1/epsilon mal für den Cos in die Gleichung ein.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung sry, weiß nicht worauf du hinaus willst.

verwirrt
Gast2788 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn cos(phi) = 1/epsilon ist, hast du unterm Bruchstrich eine 0 stehen!

Also darf phi schonmal nicht gleich arccos(1/epsilon) sein
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast2788
Naja, wenn cos(phi) = 1/epsilon ist, hast du unterm Bruchstrich eine 0 stehen!

Wieso eine Null verwirrt
Gast2788 Auf diesen Beitrag antworten »

cos(phi) = 1/epsilon:



Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso ja stimmt.
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