Umkehrfunktion - wieso ist das falsch?

20.05.2014, 20:20

drummi

Umkehrfunktion - wieso ist das falsch?

Meine Frage:
Guten Abend!

Ich habe eine Frage zu der Bildung von Umkehrfunktionen der Funktion f(x) = x^4

Meine Ideen:
Ich habe raus $\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt[4]{y} \end{eqnarray*}$
Aber die Umkehrfunktion ist nur (+) und ich verstehe nicht wieso.

20.05.2014, 20:30

bijektion

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Eine Funktion ordnet jedem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Wert genau einen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wert zu.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4 \end{eqnarray*}$ ist gar nicht Umkehrbar auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

20.05.2014, 20:41

drummi

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ach so,

aber für -x^4 geht das doch, wenn y kleiner gleich 0 ist, oder?

20.05.2014, 20:56

Gast11022013

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Nein, da hast du das selbe Problem wie oben. Diese Funktion hat keine Umkehrfunktion. Jedenfalls nicht für ihr ganzes Intervall. Nur sogenannte bijektive Funktionen, das sind Funktionen für die jeder y-Wert genau einen x-Wert hat, besitzen eine Umkehrfunktion.
Und deine Funktion ist nicht bijektiv, da zum Beispiel der y-Wert 16 zwei x-Werte hat.
f(2)=16=f(-2)

Nun kannst du diese Funktion aber auf zwei Teilintervalle einschränken, wo sie diese Eigenschaft hat. Nämlich auf die positiven und die negativen Zahlen. Und dann passt das auch (in etwa) mit deiner Berechnung.

Da hättest du jedoch vorher noch x und y in ihren Rollen vertauschen müssen.

Edit: Wobei hier natürlich auch interessant ist von welchem Definitionsbereich du überhaupt ausgehst. Ich bin mal davon ausgegangen, dass du ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ meinst.

20.05.2014, 21:07

drummi

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ja ich meinte auch R --> R

also ist das so, dass f(x) = +/- x^4 beide keine Umkehrfunktionen haben, weil da rauskommen würde
$\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt[4]{\pm y} \end{eqnarray*}$
Aber demnach wird ja jedem y-Wert zwei x-Werte zugeordnet und deswegen geht das nicht?

20.05.2014, 21:14

Gast11022013

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Schreibe das am besten noch mal sauber auf. Unter der Wurzel darf zum Beispiel schon einmal nichts negatives stehen.

Eine Umkehrfunktion könnte man schon angeben. Diese wäre dann aber zusammengesetzt. Und dies erhält man wenn man eben Teilintervalle betrachtet auf denen es eine Umkehrfunktion gibt.

Edit:

Fehlerhafte Skizze entfernt.

20.05.2014, 21:24

drummi

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deswegen hatte ich ja vorhin geschrieben für y größer gleich 0 bei -x^4.
Und es geht ja um R --> R

20.05.2014, 21:52

Bürgi

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Guten Abend,

@Gmasterflash

Ich habe Bauchschmerzen mit der von Dir veröffentlichten Skizze:

Aus $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4~\implies~\left \lbrace \begin{array}{l}D_f = \mathbb{R} \\ W_f = \mathbb{R}_0^+ \end{array} \right \rbrace \end{eqnarray*}$

Daraus folgt für mich, dass die Definitionsmenge der Umkehrung nur $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_0^+ \end{eqnarray*}$ sein kann, was aber irgendwie mit Deiner Skizze kollidiert.
verwirrt

Habe ich etwas übersehen?

20.05.2014, 22:14

Gast11022013

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Du hast natürlich recht...

Back to basics... unglücklich

20.05.2014, 22:21

drummi

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.... also was genau war jetzt mit meiner Frage?

20.05.2014, 23:24

drummi

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Zitat:

Original von drummi
ja ich meinte auch R --> R

also ist das so, dass f(x) = +/- x^4 beide keine Umkehrfunktionen haben, weil da rauskommen würde
$\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt[4]{\pm y} \end{eqnarray*}$
Aber demnach wird ja jedem y-Wert zwei x-Werte zugeordnet und deswegen geht das nicht?

und für y größer gleich 0 bei -x^4

21.05.2014, 09:50

HAL 9000

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@drummi

Eine Funktion ist nur dann umkehrbar, wenn sie bijektiv ist. Da letzteres hier nicht der Fall ist, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in der obigen Form nicht umkehrbar - worauf bijektion (der Name ist hier Programm) am Anfang schon hingewiesen hat.

Bisher wurde von dir sehr ausführlich über den Wertebereich von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4 \end{eqnarray*}$ geredet, dass der nur $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ statt ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist. Richtig, das ist der eine Teil der Bijektivität, nämlich die Surjektivität.

Es ist aber auch noch der zweite Teil, die Injektivität zu gewährleisten, d.h. dass es keine zwei $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ gibt. Wegen $\begin{eqnarray*} (-x)^4=x^4 \end{eqnarray*}$ ist das hier nur durch eine passende Einschränkung des Definitionsbereichs erreichbar, z.B.

1) $\begin{eqnarray*} f:\;[0,\infty)\to[0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4 \end{eqnarray*}$

Aber auch denkbar:

2) $\begin{eqnarray*} f:\; (-\infty,0]\to[0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4 \end{eqnarray*}$

In beiden Fällen ergeben sich dann selbstverständlich unterschiedliche Umkehrfunktionen.

P.S.: Bin wieder weg.

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