endomorphismen von minimalem Rechtsideal zu Endomorphismen von Rechtsmodul

20.05.2014, 18:50	Calucci	Auf diesen Beitrag antworten »
endomorphismen von minimalem Rechtsideal zu Endomorphismen von Rechtsmodul Meine Frage: Gegeben sei ein Matrixring $\begin{eqnarray} R=M_{n}(D) \end{eqnarray}$ über einem Schiefkörper, und $\begin{eqnarray} N_{1} \end{eqnarray}$ sei ein minimales Rechtsideal, bei dem alle Einträge Null sind bis auf die 1. Zeile. Nun soll ich zeigen, dass gilt: Alle Endomorphismen von $\begin{eqnarray} N_{1} \end{eqnarray}$ lassen sich zu Endomorphismen von $\begin{eqnarray} R_{R} \end{eqnarray}$ (Rechtsmodul) fortsetzen. Meine Ideen: Da $\begin{eqnarray} N_{1} \end{eqnarray}$ ein minimales Rechtsideal ist, ist es auch ein direkter Summand von $\begin{eqnarray} R_{R} \end{eqnarray}$ , also gilt R ist direkte Summe aus den $\begin{eqnarray} N_{i} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} R= N_{1} + N_{2} + ... + N_{n} = N_{1} + N_{1}' \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} N_{1}' \end{eqnarray}$ ja das Komplement sein soll. Sei nun $\begin{eqnarray} \alpha \in Aut(N_{1}) \end{eqnarray}$ dann ist zu zeigen, dass dann ein $\begin{eqnarray} \alpha' \in Aut(R_{R}) \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} \alpha \subset \alpha' \end{eqnarray}$ . Dann definiere ich $\begin{eqnarray} \alpha' : R -> R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r= n+n' -> \alpha(n) + n' \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n \in N_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n' \in N_{1}' \end{eqnarray}$ sein soll. Nun muss ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} \alpha' \end{eqnarray}$ R-linear , injektiv und surjektiv ist. Und hier stehe ich irgendwie auf dem Schlauch und weiß grade überhaupt nicht, wie ich da ran gehen soll. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen, wäre über jeden Tipp sehr dankbar

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