Berechnung komplexes Kurvenintegral

21.05.2014, 00:06	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung komplexes Kurvenintegral EDIT: >>>Habs ausversehen unter Schulmathematik gepostet. Vielleicht ist jemand so nett und verschiebt es. Sorry!! <<< Edit opi: klar, kein Problem. Hallo, ich verzweifle gerade an einer Aufgabe zur komplexen Funktionentheorie. Ich studiere Physik im 4.Semester! Zu berechnen sei folgendes Integral $\begin{eqnarray} \oint _{C_{r}(z=0)}\frac{(z-1)^2-1}{e^z-1}\frac{1}{z}dz \end{eqnarray}$ Wobei über einen Kreis mit Radius r um z=0 integriert wird. Ich habe versucht, wie folgt umzuformen: $\begin{eqnarray} \oint _{C_{r}(z=0)}\frac{(z-1)^2-1}{e^z-1}\frac{1}{z}dz=\oint \frac{z-2}{e^z-1}dz=\oint \frac{z-2}{z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+...}dz=\oint \frac{z-2}{z(1+\frac{z}{2}+\frac{z^2}{6}+...)}dz \end{eqnarray}$ Nun versuche ich die Cauchy'sche Integralformel anzuwenden: $\begin{eqnarray} \oint \frac{z-2}{z(1+\frac{z}{2}+\frac{z^2}{6}+...)}dz=\oint \frac{f(z)}{z}dz=2\pi i f(0)=-4\pi i \end{eqnarray}$ Wenn ich das ganze nun aber numerisch integriere erhalte ich jedoch das Ergebnis $\begin{eqnarray} 4\pi \end{eqnarray}$ . Wahrscheinlich ist das Anwenden der Cauchy'schen Integralformel hier nicht zulässig weil die Holomorphiebedingung auf der Integrationsfläche verletzt ist, da bin ich mir aber nicht sicher. Ich wäre sehr dankar wenn jemand vielleicht einen Tipp hat, wie man das Integral sonst lösen könnte, bzw. was ich bei der Rechnung konkret falsch gemacht habe! freundliche Grüße, Max!
21.05.2014, 18:45	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte es eventuell sein, dass ich bei der numerischen Integration etwas falsch gemacht habe? Wenn ich nämlich über einen Kreis mit Radius r < 7 integriere bekomme ich immer das Ergebnis $\begin{eqnarray} 4\pi \end{eqnarray}$ , bei größeren Radien erhalte ich aber merkwürdigerweise andere Ergebnisse..

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