Summenbeweis

21.05.2014, 13:17

snapdragon1987

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Summenbeweis

Hallo,

ich übe gerade Summenbeweise und bei diesem speziellen komme ich nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n}^{30n} k = \frac{30+1}{2}*n*[(30-1)*n+1] <br /> \end{eqnarray*}$

Vorallem das k=n und die 30n verwirren mich total.... Naja mein Ansatz

Induktionsanfang: n = 0

=> 0 = 30+1/2 * 0 * ... = 0 Also ist die Aussage für n=0 wahr.

Induktionsvoraussetzung: sei ein n aus N wahr.

Induktionsschluss: zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n+1}^{30(n+1)} k = \frac{30+1}{2}*(n+1)*[(30-1)*(n+1)+1] <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n}^{30(n)} k + ???<br /> \end{eqnarray*}$

Ich wollte eigentlich versuchen auf die Induktionsvoraussetzung zu kommen um damit weiterarbeiten zu können. Aber wie gesagt, die Aufgabe unterscheidet sich von allen, die ich so im Internet zum üben finden kann :/.

Viele Grüße

21.05.2014, 13:52

bijektion

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Also ich würde mal als Tipp geben, das es hier enorm hilfreich ist, erstmal den Index zu verschieben.

Aber zu deiner Lösung: Die Induktionsvoraussetzung ist $\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n}^{30 \cdot n} k = \frac{30+1}{2}\cdot n \cdot [(30-1)\cdot n+1] <br /> \end{eqnarray*}$ .
Im Induktionsschritt müsstest du dann also die letzten 30 Terme aus der Summe rausziehen und den für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ reinstecken und wieder abziehen (also die klassische $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ addieren).

Ich würde also dazu raten, mit einer Indexverschiebung zu beginnen.

21.05.2014, 13:57

HAL 9000

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Es scheint ohnehin eher anratsam, für $\begin{eqnarray*} S(n):=\sum_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ die Summenformel $\begin{eqnarray*} S(n)=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, und die vorliegende Behauptung dann via

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{30n} k = S(30n)-S(n-1) \end{eqnarray*}$

als Folgerung zu erledigen.

21.05.2014, 18:04

snapdragon1987

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Erstmal vielen Dank an euch zwei. Ich wüsste wirklich nicht, was ich ohne das Forum hier machen sollte.

Leider komme ich mit keinem Tipp weiter. Die Aufgabe wird von einem elektr. Programm korrigiert und dieses verlangt einen Restterm der Form:

$\begin{eqnarray*} <br /> Rn = \sum\limits_{k=n+1}^{30(n+1)} k - \sum\limits_{k=n}^{30(n)} k<br /> \end{eqnarray*}$

das war auch mein Ansatz. Damit ich die Induktionsvoraussetzung nutzen kann.
Indexverschiebungen bekomme ich eigentlich hin, aber hier hab ich keine Ahnung wie die Aussehen muss.

In unserer Formelsammlung gibt es lediglich das hier:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{n} k = \sum\limits_{k=1+j}^{n+j} k-j<br /> \end{eqnarray*}$

Nur ich habe in keiner unserer gefühlt 500 Übungsaufgaben nen Faktor vor dem n stehen :/.

21.05.2014, 18:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von snapdragon1987
Die Aufgabe wird von einem elektr. Programm korrigiert

Wie bitte? ROFL

ROFL

21.05.2014, 18:21

snapdragon1987

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Ja @HAL 9000, so ist das bei uns :/.

Deswegen sind auch alle anderen Ansätze schlichtweg nicht erlaubt/möglich.

Wie gesagt, bei dem Restterm komm ich einfach nicht drauf :/. Die Indexverschiebung bekomm ich für diese Summe nicht hin unglücklich

unglücklich

.

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21.05.2014, 18:31

HAL 9000

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Nichts für ungut, aber dann in deinem Weg muss man ja folgendes tun:

Zitat:

Original von bijektion
Im Induktionsschritt müsstest du dann also die letzten 30 Terme aus der Summe rausziehen und den für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ reinstecken

Das ist für mich einfach idiotisch kompliziert, wo es doch soviel einfacher geht, für so einen Weg bin ich nicht zu haben - da sträubt sich bei mir alles, tut mir leid.

21.05.2014, 18:38

snapdragon1987

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Die Form soll in

Rn = ?n + ? angegeben werden (in der Teilaufgabe).

Ist Rn = 30n + 1 richtig?

21.05.2014, 19:46

snapdragon1987

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Hallo,

ich habe jetzt einen neuen Ansatz um auf R(n) zu kommen.
Ich nehme den Gaußbeweis als wahr an und dann würde sich (für Gauß) das hier ergeben.

$\begin{eqnarray*} <br /> R(n) = \frac{(n+1)*(n+2}{2} - \frac{(n)*(n+1}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

Auf meinen Fall angewendet wäre das

$\begin{eqnarray*} <br /> R(n) = \frac{(30(n+1)*(30(n+1)+1}{2} - \frac{(30n)*(30n+1}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich als Ergebnis

R(n) = 465n + 930

passt das?

22.05.2014, 08:58

HAL 9000

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Also ich rekapituliere dann doch nochmal: Du willst die in deinem Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ benötigte Differenz

$\begin{eqnarray*} R_n = \sum\limits_{k=n+1}^{30(n+1)} k - \sum\limits_{k=n}^{30n} k = -n + \sum\limits_{k=30n+1}^{30(n+1)} k \end{eqnarray*}$

mit Hilfe der Gaußformel bestimmen (die ich oben mit $\begin{eqnarray*} S(\ldots) \end{eqnarray*}$ bezeichnet habe), also vielleicht gemäß

$\begin{eqnarray*} R_n = S(30(n+1)) - S(30n) - n = \frac{30(n+1)(30(n+1)+1)}{2} - \frac{30n(30n+1)}{2} - n \end{eqnarray*}$ ,

oder mit vorheriger Indexverschiebung - wie auch immer.

Na vielleicht ist es genau das, was dein "Korrektorprogramm" sehen will - für den GMV ergibt sich da allerdings die Frage:

Wenn schon Gauß eingesetzt werden darf, warum dann nicht gleich (ohne diesen wahnsinnig komplizierten Umweg) über das schon erwähnte

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{30n} k = S(30n)-S(n-1) = \frac{30n(30n+1)}{2} - \frac{(n-1)n}{2} \end{eqnarray*}$ ? smile

smile

22.05.2014, 12:51

snapdragon1987

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Deine Zeile mit dem S(n) = stimmt.

Mir wurde allerdings zwischenzeitlich mitgeteilt, dass diese Ersetzung und das Verwenden der Gaußformel nicht erlaubt sei.

Man sollte irgendwie irgendwo eine 0 addieren und die Summenzeichen verschieben und dann würde man angeblich direkt auf R(n) = ?n+? kommen.

unglücklich

unglücklich

22.05.2014, 13:24

snapdragon1987

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Laut Programm muss die Zeile so aussehen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n+1}^{30(n+1)} k = \sum\limits_{k=n}^{30(n)} k + Rn<br /> \end{eqnarray*}$

Rn soll angeben werden in der Form: ?n + ?

22.05.2014, 14:10

snapdragon1987

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Wenn ich die Summe auf die andere Seite nehme habe ich

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n+1}^{30(n+1)} k - \sum\limits_{k=n}^{30n} k = Rn <br /> \end{eqnarray*}$

Angeblich kann man hier jetzt Indixes verschieben und dann weiter auflösen damit man auf die gewünschte Form kommt ...

22.05.2014, 15:08

Lauschepper

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Ja, das kann man so machen... wenn's unbedingt sein muss!

Sei: $\begin{eqnarray*} S(n):=\sum_{k=n}^{30n}k. \end{eqnarray*}$

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} S(n+1)=\sum_{k=n+1}^{30(n+1)}k=\left(\sum_{k=n}^{30(n+1)}k\right)-n=\left(S(n)+\sum_{k=30n+1}^{30(n+1)}k\right)-n=\left(S(n)+\sum_{k=1}^{30}(30n+k)\right)-n=\left(S(n)+S(1)+\sum_{k=1}^{30}(30n)\right)-n=S(n)+S(1)+899n. \end{eqnarray*}$

Jetzt kann du ganz rechts die IV einbringen und musst dann nur noch zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{31n(29n+1)}2+\frac{31\cdot 30}2+ 899 n =\frac{31(n+1)(29(n+1)+1)}2. \end{eqnarray*}$

22.05.2014, 18:07

snapdragon1987

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Hallo Lauschepper,

vielen Dank für dein Lösungsweg. Ich versuche diesen gerade zu verstehen und hänge an folgender Umformung:

$\begin{eqnarray*} <br /> S(n) + \sum\limits_{k=30n+1}^{30(n+1)} k - n = S(n) + \sum\limits_{k=1}^{30} {30n+k} - n <br /> \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt bekomme ich leider nicht nachvollzogen.

Und woher sehe ich das Am Ende die Summe von k=1 bis 30 über 30n - n 899n ergibt?

23.05.2014, 09:04

Gurki

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Na ja, also diese Gleichheit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=30n+1}^{30(n+1)} k=\sum_{k=1}^{30}(30n+k) \end{eqnarray*}$

ist so offensichtlich, dass mir da zu Erklärung nichts weiter einfällt als einfach mal für beide Summen ein paar Summanden explizit hinzuschreiben.
Offenbar solltest du dich dringend mit dem Summenzeichen und mit dessen Handhabung vertraut machen.

Außerdem gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{30}(30n)=(30n)\cdot\left(\sum_{k=1}^{30}~1\right)=(30n)(\underbrace{1+1+1+\ldots +1}_{30 \text{ Summanden}})=900n. \end{eqnarray*}$

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