Infimum, Supremum, Minimum und Maximum von Folgen

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21.05.2014, 13:35	MarioH	Auf diesen Beitrag antworten »
Infimum, Supremum, Minimum und Maximum von Folgen Meine Frage: a) Bestimme, sofern vorhanden, Infimum, Supremum, Minimum und Maximum der folgenden Folgen: 1. an = 1 - 1/n 2. an = ((-1)^nPI)/n (also PI ist nicht in der Potenz) b) Seien an und bn beschränkte Folgen in R. Zeige oder wiederlege folgende Aussagen: 1. sup(-an) = -inf(an) 2. sup(an+bn) = sup(an)+sup(bn) 3. inf(anbn) = inf(an)inf(bn) Meine Ideen:* a) 1. inf(an) = min(an) = 0 sup(an) = 1 max(an) gibt es nicht 2. inf(an) = min(an) = -PI sup(an) = max(an) = PI/2 Falls die Werte stimmen, würdet ihr hier eine genauere Begründung erwarten? b) 1. Widerleg durch an = 1-1/n: sup(an) = 1 <=> sup(-an) = -1 inf(an) = 0 <=> -inf(an) = 0 Ich weiß nicht ob ich davon ausgehen darf; nach meinem Verständnis ist auch sup(-an) und -sup(an) dasselbe. sup(-an) = 1 != 0 = -inf(an) Ist das korrekt? Teil 2. und 3. habe ich noch nicht weiter bearbeitet. Nachtrag zu 2. und 3.: Ich verstehe das so: sup(an + bn) = sup(a0+b0, a1+b1, ... an+bn) und genauso was anbn angeht. Die Gleichungen würden dann nur stimmen, wenn sup(an) und sup(bn) an demselben n liegen. Richtig wären die Formeln also jeweils: 2. sup(an+bn) <= sup(an)+sup(bn) 3. inf(anbn) <= inf(an)*inf(bn)
21.05.2014, 13:46	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
a) 1. Richtig. 2. Was heißt das Fragezeichen? Je nachdem was dein Studienfach ist, würde ich einen Beweis erwarten. b) 1. Passt so 2. Wähle doch einfach mal $\begin{eqnarray} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n=-\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ .
21.05.2014, 13:50	MarioH	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, da habe ich via Google versucht ein PI einzugüfen. Ich habs jetzt direkt reingeschrieben, auf Dauer werd ich mich hier mal einarbeiten wie das richtig geht Ich studiere Informatik und dort stand nur bestimmen, aber es scheint mir dennoch etwas aus der Luft gegriffen wenn ich es nur so hinschreibe... Mein "Beweis" besteht da aber bisher nur aus einfügen im Kopf. Zur b) 2. und 3.: an = 1/n bn = -1/n sup(an + bn) = sup(1/n + (-1/n)) = sup(0) != 1 = 1 + 0 = sup(1/n) + sup(-1/n) = sup(an) + sup(bn) an = n bn = 1/n inf(an * bn) = inf(n * 1/n) = inf(1) = 1 != 1 * 0 = inf(n) * inf(1/n) = inf(an) * inf(bn) Das sieht eigentlich gut aus; ich gehe mal davon aus, dass inf(1) = 1 und sup(0) = 0 ist.
21.05.2014, 13:57	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn du zu a) 1. einen Beweis willst, ist das nicht sonderlich schwierig. Das $\begin{eqnarray} \inf a_n =0 \end{eqnarray}$ gilt ist offensichtlich wegen $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ , das $\begin{eqnarray} \sup a_n=1 \end{eqnarray}$ ist ähnlich leicht zu sehen, denn angenommen $\begin{eqnarray} 1-\varepsilon \end{eqnarray}$ wäre für $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ eine obere Schranke, dann musst du nur noch ein $\begin{eqnarray} N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ wählen, sodass für alle $\begin{eqnarray} n>N_{\varepsilon} \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} a_n >1-\varepsilon \end{eqnarray}$ ist; und das es so ein $\begin{eqnarray} N_{\varepsilon} \end{eqnarray}$ gibt, folgt aus der Konvergenz $\begin{eqnarray} a_n \to 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ . Bei 2. kann man analog vorgehen.
21.05.2014, 14:05	MarioH	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay dann werde ich den Beweis einfach mal versuchen zu vervollständigen, kann ja nicht schaden Meine Ergebnisse zu b) 2. und 3. hba ich in den oberen Beitrag von mir editiert.
21.05.2014, 15:24	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht doch eigentlich nur noch um $\begin{eqnarray} \inf a_n \cdot b_n = \inf a_n \cdot \inf b_n \end{eqnarray}$ ?
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21.05.2014, 15:27	MarioH	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da hatte ich in meinem Beitrag weiter oben das hinzugefügt: an = n bn = 1/n inf(an * bn) = inf(n * 1/n) = inf(1) = 1 != 1 * 0 = inf(n) * inf(1/n) = inf(an) * inf(bn)
21.05.2014, 15:30	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wars das doch
21.05.2014, 15:31	MarioH	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
21.05.2014, 15:33	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem

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