Verständnisfrage Linie zw. Punkt und Graph

21.05.2014, 15:30

Petro

Verständnisfrage Linie zw. Punkt und Graph

Meine Frage:
Gegeben ist ein Punkt P(x|y). Die Frage ist nun, welcher Punkt des Graphen y(x)=... den kleinsten Abstand besitzt.

Es gibt ja eine Formel, welche den Abstand mithilfe des Pythagoras beschreibt. Wie aber kommt ein Dreieck zustande?
Ich ziehe eine Linie vom Punkt Richtung Graph. Wo setze ich nun die beiden anderen Punkte für das Dreieck an und warum?

Meine Ideen:
smile

21.05.2014, 15:32

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Hypothenuse ist die gesuchte Strecke, die beiden Katheten verlaufen parallel zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - b.z.w $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse.

21.05.2014, 15:48

Petro

Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll ja aber immer nur ein Punkt angeschaut werden. Hier sind es dann aber viele.

21.05.2014, 16:19

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hier sind es dann aber viele.

Viele? Nein. Es braucht genau zwei. Gegeben ist der Punkt $\begin{eqnarray*} P=(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ deine Funktion.
Für jedes $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist jetzt der Abstand von $\begin{eqnarray*} (x,f(x)) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} d((x,f(x)),(x_0,y_0))=\sqrt{(x-x_0)^2+(f(x)-y_0)^2} \end{eqnarray*}$ .
Damit hast du alles was du brauchst.

21.05.2014, 16:26

Petro

Auf diesen Beitrag antworten »

Und dadurch wird praktisch ein Kreuz gezeichnet, dass ein einer speziellen Stelle den gesuchten Punkt im Graphen schneidet. Und weil dieses eingezeichnete Kreuz im rechten Winkel zur x- und y-Achse ist, kann der Pythagoras angewandt werden. Ja?

21.05.2014, 16:30

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute mal du meinst das:

Zitat:

Die Hypothenuse ist die gesuchte Strecke, die beiden Katheten verlaufen parallel zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - b.z.w $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse.

Du arbeitest hier einfach mit dem euklidischen Abstand.

21.05.2014, 16:44

Petro

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schon. Ich versuche nur zu verstehen, warum das so funktioniert. Wenn ich eine Gerade an den Graphen anlege, gibt es doch mehr als einen speziellen Punkt.

21.05.2014, 16:50

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn eine Gerade anlegen? Selbst dann gibt es nicht unbedingt mehr als einen Punkt.
Gib doch mal die spezielle Funktion an.

21.05.2014, 16:58

Petro

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt verschiedene Aufgaben, wie die hier:
Punkt A(6|4) und Kurve y(x)=(2+x^2)/x

Thema ist das Üben von Funktionsdiskussionen und das Suchen von Bedingungen. Bei dieser Aufgabe aber kam ich nicht weiter. Ich habe die Formel im Internet gesucht, verstehe aber nicht, weshalb das funktioniert, noch wie ich darauf hätte kommen sollen.

21.05.2014, 17:13

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Lass dir das ganze mal zeichen. Dann erkennst du sofort, das der Punkt offenbar im ersten Quadranten liegen muss.

Zum Abstand. Zeichne dir das: Wenn du zwei Punkte in ein Koordinatensystem zeichnest, und die Verbindungsstrecke einzeichnest, erkennt man doch schnell woher die Formel kommt.

21.05.2014, 17:40

Petro

Auf diesen Beitrag antworten »

Folgende Aufgabe habe ich gezeichnet und die Punkte verbunden:

y(x)=(1+x^2)/(1+x), Punkt P(3|-2)

Wo wäre da das Dreieck?

22.05.2014, 17:54

Petro

Auf diesen Beitrag antworten »

Wird eigentlich immer Punkt von Graph subtrahiert oder wird immer der größere Wert nach vorn gestellt?

22.05.2014, 18:51

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Da jeweils quadriert wird, ist das ohne Bedeutung.

Allerdings ist ein Mischmasch unschön, d.h. entweder Kurvenpunkt minus Punkt oder anderstherum.